Magnitudes y vectores - 2 Vectores 21

Vectores 20. Haciendo uso de la propiedad distributiva del producto escalar y vectorial respecto de la suma, demostrar el teorema del coseno y del seno y especializar cuando uno de los ángulos es recto (teorema de Pitágoras)

Teorema del coseno

|a|² = |b|² + |c|² - 2 |b| . |c| cos α

Del gráfico ---------  > a = b – c (ecuación vectorial)

Recordar que

|a|²  =  a • a

Reemplazando a = b – c

a • a = (b – c) • (b – c)

aplicando la propiedad distributiva

a • a = (b – c) • (b – c) = b • b – b • c – c • b + c • c

reordenando y recordando que b • c = c • b

|a|² = |b|² + |c|²– 2 b • c

Por definición del producto escalar

b • c = |b| |c| cos α

α = ángulo comprendido entre b y c

Reemplazando

|a|² = |b|² + |c|²– 2 |b| |c| cos α  < --------- Teorema del coseno

Teorema de Pitágoras

α = ángulo comprendido entre b y c = 90º  -----  >  a = hipotenusa

|a|² = |b|² + |c|²– 2 |b| |c| cos 90º = |b|² + |c|²  < ---------- Teorema de Pitágoras

Teorema del seno

Del gráfico ---------  > a = b – c (ecuación vectorial)

Recordar que

a x a = 0

Reemplazando a = b – c

a x a = a x (b – c)

aplicando la propiedad distributiva

a x a = a x b – a x c = 0 ----------- > a x b = a x c

Por definición del producto vectorial

a x b = |a| |b| sen γ

γ = ángulo comprendido entre a y b

a x c = |a| |c| sen β

β = ángulo comprendido entre a y c

reemplazando

|a| |b| sen γ = |a| |c| sen β

Dividiendo por |a| y reordenando

Eligiendo el lado b y aplicando el mismo método

Del gráfico ---------  > b = a – c (ecuación vectorial)

|b| |a| sen γ = |b| |c| sen α

Dividiendo por |b| y reordenando

igualando ambas ecuaciones

< --------- Teorema del seno