Magnitudes y vectores - 2 Vectores 17

Vectores 17. Usando la propiedad distributiva del producto vectorial respecto de la suma y los resultados del ejercicio anterior, demostrar que si:

A = A_x î + A_y ĵ + A_z k

B = B_x î + B_y ĵ + B_z k

entonces:

A x B = (Ay Bz– Az By; Az Bx –Ax Bz ; Ax By– Ay Bx)

desarrollando el producto

A x B = (Ax î + Ay ĵ + Az k) x ( Bx î + By ĵ + Bz k) =

A x B = Ax î . Bx î + Ax î . By ĵ + Ax î . Bz k + Ay ĵ . Bx î + Ay ĵ . By ĵ + Ay ĵ . Bz k + Az k . Bx î + Az k . By ĵ + Az k . Bz k

Resultado del ejercicio 16

î x î =  0 î x ĵ =  k î x k =  - ĵ

ĵ x î = - k ĵ x ĵ = 0 ĵ x k = î

k x î =  ĵ k x ĵ =  - î k x k = 0

A x B = Ax î . Bx î + Ax î . By ĵ + Ax î . Bz k + Ay ĵ . Bx î + Ay ĵ . By ĵ + Ay ĵ . Bz k + Az k . Bx î + Az k . By ĵ + Az k . Bz k

amarillos = 0

verdes > 0

celestes < 0

Reemplazando

A x B =  Ax. By k + Ax . Bz (- ĵ)+ Ay . Bx (-k) + Ay . Bz î + Az . Bx ĵ + Az . By (-î)

Reordenando

A x B = (Ay . Bz - Az . By) î + (Az . Bx - Ax . Bz ) ĵ + (Ax . By - Ay . Bx ) k

o bien 
A x B = (Ay . Bz - Az . By ; Az . Bx - Ax . Bz  ; Ax . By - Ay . Bx )