Estática – 1 Cuerpo puntual – 8

Estática 1.8. Indicar en qué casos puede ser calculada la tensión T, si sólo están dadas las cantidades que se indican en las figuras.

Considerar: F1 = F2.

En el caso en que la información sea insuficiente, indicar qué dato es necesario para poder resolver el problema.

Caso a

DCL

α1 = ángulo de T1 con el techo

α2 = ángulo de T2 con el techo

α1 + α2 = 90º

Según x ---- > - T1x + T2x = 0

Según y --- > T1y + T2y - P = 0

Las componentes según los ejes de T1 y T2

T1x = T1 cos α1

T1y = T1 sen α1

T2x = T2 cos α2

T2y = T2 sen α2

Reemplazando

Según x ---- > - T1 cos α1 + T2 cos α2= 0

Según y --- > T1 sen α1 + T2 sen α2 - 10 kgf = 0

Despejando T2 de la primera ecuación y reemplazando en la segunda

T1 sen α1 + (T1 cos α1 / cos α2) sen α2  - 10 kgf = 0

Agrupando y despejando T1

T1 = 10 kgf / (sen α1 +  cos α1 tan α2)

Falta el ángulo α1 (T1 con el techo) o longitud de las cuerdas (ver caso c)

Caso b

DCL nudo más alto

α1 = ángulo de T1 con la horizontal

Según x ---- > T1x – F2 = 0

Según y --- > - T1y + T2 = 0

Las componentes según los ejes de T1

T1x = T1 cos α1

T1y = T1 sen α1

Reemplazando

Según x ---- > T1 cos α1 – F2 = 0

Según y --- > - T1 sen α1 + T2 = 0

DCL – nudo más bajo

α3 = ángulo de T3 con la horizontal

Según x ---- > -T3x + F1 = 0

Según y --- > T3y - P = 0

Las componentes según los ejes de T3

T3x = T3 cos α3

T3y = T3 sen α3

Además

T3 = T1 = T (misma cuerda)

α3 = α1 (alternos internos entre paralelas)

F1 = F2 (enunciado)

Reemplazando

Según x ---- > - T cos α1 + F2 = 0

Según y --- > T sen α1 – 10 kgf = 0

Las ecuaciones de los dos nudos

Según x ---- > T cos α1 – F2 = 0  (nudo alto)

Según x ---- > - T cos α1 + F2 = 0 (nudo bajo)

Las dos ecuaciones son iguales y despejando T

T = F2 / cos α1

Según y --- > - T sen α1 + T2 = 0 (nudo alto)

Según y --- > T sen α1 – 10 kgf = 0 (nudo bajo)

Comparando las dos ecuaciones T2 = 10 kgf  y despejando T

T = 10 kgf / sen α1

Falta el ángulo que forma T con la horizontal ó el valor de F2.

Caso c

DCL

Las cuerdas y el techo forman un triángulo rectángulo. Con hipotenusa 5 m (5² = 3² + 4²)

α1 = ángulo de T1 con el techo

α2 = ángulo de T2 con el techo

α1 + α2 = 90º

Según x ---- > - T1x + T2x = 0

Según y --- > T1y + T2y - P = 0

Las componentes según los ejes de T1 y T2

T1x = T1 cos α1 = T1 3/5

T1y = T1 sen α1 = T1 4/5

T2x = T2 cos α2 = T2 4/5

T2y = T2 sen α2 = T2 3/5

Reemplazando

Según x ---- > - T1 3/5 + T2 4/5 = 0

Según y --- > T1 4/5 + T2 3/5 - 10 kgf = 0

Despejando T2 de la primera ecuación y reemplazando en la segunda

T1 4/5 + T1 3/5 (3/5 / 4/5)  - 10 kgf = 0

Agrupando y despejando T1

T1 = 10 kgf / (4/5  +  9/20) = 8kgf  < ---------- tensión