Estática – 2 Cuerpo extenso – 4

Estática 2.4. Dónde habrá que colocar un apoyo fijo en la tabla para usarla a modo de palanca si se desea mantener en equilibrio una piedra de peso 225 kgf ubicada en el extremo B, aplicando una fuerza de 25 kgf en el extremo A. La longitud de la tabla es de 2 m y el peso despreciable.

a- La tabla está horizontal.

Diagrama de Fuerzas

La Fuerza R es la reacción en el apoyo fijo (o).

Momento respecto al punto o   ------ >Mo = - P (L- d) + F d = 0

Despejando d

d = P L / (P + F) = 225 kgf 2m / (225 kgf + 25 kgf) = 1,8 m  < -------- posición del punto de apoyo (o) respecto A

b- La tabla está inclinada 30°.

Diagrama de Fuerza

La Fuerza R es la reacción en el apoyo fijo (o).

Momento respecto al punto o  -------------- > Mo = - P (L-d) cos 30º + F d cos 30º= 0

Despejando d

d = P L / (P + F) = 225 kgf 2m / (225 kgf + 25 kgf) = 1,8 m  < -------- posición del punto de apoyo (o) respecto A

Estática – 2 Cuerpo extenso – 2

Estática 2.2. El radio del volante de un vehículo es de 23 cm. El conductor ejerce una fuerza de 1,82 kgf tangente al volante haciéndolo girar en sentido horario.

¿Qué momento, con respecto al eje, produce?

|MoF| = distancia al eje * fuerza = R * F = 0,23 m * 1,82 kgf = 0,4186 kgf m

MoF  = - 0,4816 kgf m  < ------- momento respecto al eje

Nota: giro horario = negativo

¿Qué fuerza debería  ejercerse sobre el volante para que éste no gire? ¿Dónde la aplicaría?

Una fuerza de igual modulo (1,82 kgf), tangente al volante y genere un giro antihorario, aplicada a la misma distancia del eje (suma de momentos cero)

Estática – 2 Cuerpo extenso – 1

Estática 2.1. Dadas las siguientes afirmaciones, referidas a un sistema de fuerzas aplicadas a un cuerpo extenso:

I) La suma de las fuerzas es cero

II) La suma de los momentos de las fuerzas respecto a un punto es cero

III) La suma de los momentos de las fuerzas respecto a dos puntos distintos, son nulos

Entonces está en equilibrio si se cumple:

a) I y IV simultáneamente

b) solamente I

c) solamente II

d) solamente III

█ e) I y II simultáneamente

f) ninguna de las anteriores es la correcta.

Análisis de las afirmaciones

I) La suma de las fuerzas es cero.

El cuerpo está en equilibrio

Newton: Sumatoria de las fuerzas = 0, está en reposo o moviéndose con velocidad constante

II) La suma de los momentos de las fuerzas respecto a un punto es cero.

El cuerpo NO está rotando.

III) La suma de los momentos de las fuerzas respecto a dos puntos distintos, son nulos.

El cuerpo NO está rotando

Si la sumatoria de los momentos de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es CERO respecto a un punto, también lo es respecto a cualquier otro punto

--------------- >  e) I y II simultáneamente.

Estática – 1 Cuerpo puntual – 10

Estática 1.10. La lámpara de la figura que pesa P está sostenida por dos cuerdas como muestra la figura. Hallar las intensidades de la tensión en la cuerda izquierda (TI) y en la cuerda derecha (TD) si los ángulos αy β toman los siguientes valores, respectivamente:

a) 45º y 45º	b) 37º y 53º	c) 30º y 60º
d) 53º y 37º	e) 30º y 30º	f) 60º y 30º

DCL

Según x ---- > - TIx + TDx  = 0

Según y --- > TIy + TDy – P  = 0

 

Donde 

TIx =  componente  x de TI = TI cos α

TIy = componente y de TI = TI sen α

TI = tensión de la cuerda izquierda

α = ángulo de TI con el techo

TDx = componente x de TD =  TD cos β

TDy = componente y de TD =  TD sen β

TD = tensión de la cuerda derecha

β = ángulo de TD con el techo

 

Reemplazando

 - TI cos α + TD cos β  = 0

 TI sen α + TD sen β  = P

 

Despejando (método de Kramer)

TI = P cos β / (cos α  sen β  + sen α cos β)

TD = P cos α / (cos α  sen β  + sen α cos β)

 

α	β	TI	TD
45°	45°	0,71 P	0,71 P
37°	53°	0,6 P	0,8 P
30°	60°	0,5 P	0,87 P
53°	37°	0,8 P	0,6 P
30°	30°	1 P	1 P
60°	30°	0,87 P	0,5 P

 

 

Estática – 1 Cuerpo puntual – 9

Estática 1.9. Calcular qué ángulo máximo pueden formar con la vertical las cuatro cuerdas de la figura, para que la fuerza que soporta cada una no exceda los 500 kgf. (Use consideraciones de simetría).

Punto de unión de las 4 cuerdas

Por simetría T1 = T2 = T3 = T4

Vértice del cubo

Según x ---- > T1x – R  = 0

Según y --- > T1y – P/4  = 0

Las componentes según los ejes de T1

T1x = T1 sen α1

T1y = T1 cos α1

donde

α1 = ángulo de T1 con la vertical

R = reacción de la caja (la caja es rígida)

T1 = tensión máxima de la soga = 500 kgf

P/4 = cuarta parte del peso (hay 4 cuerdas) = 1.000 kgf / 4 = 250 kgf

Reemplazando

Según x ---- > 500 kgf sen α1 – R = 0

Según y --- > 500 kgf cos α1 – 250 kgf  = 0

Despejando cos α1 de la segunda ecuación

cos α1 = 250 kgf/ 500 kgf = 0,5

α1 = arco cos (0,5) = 60º  < ---------- ángulo máximo

Estática – 1 Cuerpo puntual – 8

Estática 1.8. Indicar en qué casos puede ser calculada la tensión T, si sólo están dadas las cantidades que se indican en las figuras.

Considerar: F1 = F2.

En el caso en que la información sea insuficiente, indicar qué dato es necesario para poder resolver el problema.

Caso a

DCL

α1 = ángulo de T1 con el techo

α2 = ángulo de T2 con el techo

α1 + α2 = 90º

Según x ---- > - T1x + T2x = 0

Según y --- > T1y + T2y - P = 0

Las componentes según los ejes de T1 y T2

T1x = T1 cos α1

T1y = T1 sen α1

T2x = T2 cos α2

T2y = T2 sen α2

Reemplazando

Según x ---- > - T1 cos α1 + T2 cos α2= 0

Según y --- > T1 sen α1 + T2 sen α2 - 10 kgf = 0

Despejando T2 de la primera ecuación y reemplazando en la segunda

T1 sen α1 + (T1 cos α1 / cos α2) sen α2  - 10 kgf = 0

Agrupando y despejando T1

T1 = 10 kgf / (sen α1 +  cos α1 tan α2)

Falta el ángulo α1 (T1 con el techo) o longitud de las cuerdas (ver caso c)

Caso b

DCL nudo más alto

α1 = ángulo de T1 con la horizontal

Según x ---- > T1x – F2 = 0

Según y --- > - T1y + T2 = 0

Las componentes según los ejes de T1

T1x = T1 cos α1

T1y = T1 sen α1

Reemplazando

Según x ---- > T1 cos α1 – F2 = 0

Según y --- > - T1 sen α1 + T2 = 0

DCL – nudo más bajo

α3 = ángulo de T3 con la horizontal

Según x ---- > -T3x + F1 = 0

Según y --- > T3y - P = 0

Las componentes según los ejes de T3

T3x = T3 cos α3

T3y = T3 sen α3

Además

T3 = T1 = T (misma cuerda)

α3 = α1 (alternos internos entre paralelas)

F1 = F2 (enunciado)

Reemplazando

Según x ---- > - T cos α1 + F2 = 0

Según y --- > T sen α1 – 10 kgf = 0

Las ecuaciones de los dos nudos

Según x ---- > T cos α1 – F2 = 0  (nudo alto)

Según x ---- > - T cos α1 + F2 = 0 (nudo bajo)

Las dos ecuaciones son iguales y despejando T

T = F2 / cos α1

Según y --- > - T sen α1 + T2 = 0 (nudo alto)

Según y --- > T sen α1 – 10 kgf = 0 (nudo bajo)

Comparando las dos ecuaciones T2 = 10 kgf  y despejando T

T = 10 kgf / sen α1

Falta el ángulo que forma T con la horizontal ó el valor de F2.

Caso c

DCL

Las cuerdas y el techo forman un triángulo rectángulo. Con hipotenusa 5 m (5² = 3² + 4²)

α1 = ángulo de T1 con el techo

α2 = ángulo de T2 con el techo

α1 + α2 = 90º

Según x ---- > - T1x + T2x = 0

Según y --- > T1y + T2y - P = 0

Las componentes según los ejes de T1 y T2

T1x = T1 cos α1 = T1 3/5

T1y = T1 sen α1 = T1 4/5

T2x = T2 cos α2 = T2 4/5

T2y = T2 sen α2 = T2 3/5

Reemplazando

Según x ---- > - T1 3/5 + T2 4/5 = 0

Según y --- > T1 4/5 + T2 3/5 - 10 kgf = 0

Despejando T2 de la primera ecuación y reemplazando en la segunda

T1 4/5 + T1 3/5 (3/5 / 4/5)  - 10 kgf = 0

Agrupando y despejando T1

T1 = 10 kgf / (4/5  +  9/20) = 8kgf  < ---------- tensión

Estática – 1 Cuerpo puntual – 7

Estática 1.7. Tres cables A, B y C atados a único nudo se mantienen tirantes y en equilibrio. Las tensiones de los cables A y B son de 45 kgf cada una. Calcular la tensión del cable C, en los siguientes casos:

a- A y B son paralelos. Analizar igual sentido y sentido contrario

DCL - Igual sentido

Eje y --- > TA + TB – TC = 0

Reemplazando y despejando TC

TC = 45 kgf + 45 kgf = 90 kgf < -------- tensión cable C

DCL - Sentido opuesto

Eje y --- > TA - TB – TC = 0

Reemplazando y despejando TC

TC = 45 kgf - 45 kgf = 0 kgf < -------- tensión en cable C

b- A y B son perpendiculares

DCL

Según x ---- > - TCx + TA = 0

Según y --- > - TCy + TB = 0

las componentes según los ejes de TC, α = ángulo con el eje x

TCx = TC cos α

TCy = TC sen α

Reemplazando

Según x ---- > - TC cos α  + 45 kgf = 0

Según y --- > - TC sen α   + 45 kgf = 0

Despejando TC sen α y TC cos α de ambas ecuaciones

TC cos α  =  45 kgf

TC sen α   =  45 kgf

|TC| = √ ((45 kgf)² + (45 kgf)²) =  63,64 kgf  < ------- módulo de la tensión en el cable C

tan α  = 45 kgf / 45 kgf = 1

α = arco tan (1) = 225º < --------- ángulo con el eje x

TC =  ( 63,64 kgf; 225º)

o bien

TC = - 45 kgf î – 45 kgf ĵ   < ------------ tensión en el cable C