Física 1 (Exactas) Práctica 12.9 - Dinámica del cuerpo rígido

Un cilindro homogéneo de masa M y radio R se traslada sin rodar con velocidad v₁ en la parte exenta de rozamiento BA de una superficie horizontal Más allá de A cambia la superficie de manera que a la derecha de A el coeficiente de rozamiento es μ. Una vez que haya pasado el punto A, el cilindro deslizará primeramente sobre el plano áspero, pero acabará rodando sin deslizar.

 

 

a.     Calcule en qué punto empezará a rodar sin deslizar (rodadura) y cuál será la velocidad correspondiente del centro de masa. 

 

Ecuaciones de Newton (a parir de A)

Según x: - Froz = M a

Según y: N – P = 0

τ: Froz R = I α

 

Donde

Froz = fuerza de rozamiento = μ N

N = reacción del plano

a = aceleración del centro de masa

P = peso = M g

τ = torque respecto del centro de masa (CM)

I = momento de inercial del cilindro = 1/ 2 M R^2

R = radio del cilindro

α = aceleración angular

 

Reemplazando en la ecuación según x

a = - μ M g / M = - μ g

 

Reemplazando en la ecuación del torque

α = μ M g R / (1 /2 M R^2) = 2 μ g / R

 

Comienza a rodar sin deslizar (rodadura) punto C

vC = ωC R

 

Donde

vC = velocidad del centro de masa en rodadura = v1 + a tC

tC = tiempo que tarda en llegar a rodadura

ωC = velocidad angular en rodadura = α tC

 

Reemplazando

v1 - μ g tr = 2 μ g / R tC R

 

Despejando tC

tC = v1 / (3 μ g)

 

Reemplazando en vC

vC = v1 - μ g (v1 / (3 μ g)) = 2 /3 v1

 

Velocidad CM (vC)

vC =  2 /3 v1

  

Posición (xC)

xC = v1 (v1 / (3 μ g)) – 1 /2 μ g (v1 / (3 μ g))^2 = 5/18 v1^2 / (μ g)

 

 

 

b.     Calcule la aceleración del cilindro y el valor de la fuerza de rozamiento a partir del punto en que entra en rodadura (punto C).

 

A partir del punto C à No hay fuerzas externas à a = 0

 

Si a = 0 à Froz = 0

 

 

c.      Calcule la energía perdida entre el punto A y el punto C. Justifique el valor hallado por razonamientos energéticos.

 

ΔEm = EmC - EmA

 

Donde

ΔEm = variación de la energía mecánica

EmA = energía mecánica en A = EcA

EcA = energía cinética en A = 1 /2 M v1^2

EmC = energía mecánica en C = EcC + EcrC

EcC = energía cinética en C = 1 /2 M vC^2

vC = velocidad en C = 2 /3 v1

EcrC = energía cinética de rotación = 1 /2 I ωC^2

ωC = velocidad angular = vC / R = 2 /3 v1 / R

 

Reemplazando

ΔEm = 1 /2 M (2 /3 v1)^2 + 1 /2 (1/ 2 M R^2) (2 /3 v1 / R)^2 - 1 /2 M v1^2 = - 1/6 M v1^2

 

La energía perdida equivale al trabajo de la fuerza de rozamiento

 

WFr = WFr tras + WFr rot

 

Donde

WFr = trabajo de la fuerza de rozamiento entre A y C

WFr tras = trabajo de la fuerza de rozamiento por traslación = - Froz  xC

Froz = fuerza de rozamiento = μ M g

xC = distancia recorrida AC = 5/18 v1^2 / (μ g)

WFr rot = trabajo de a fuerza de rozamiento por rotación = τ  θ

τ = torque = μ M g

θ = angulo barrido = 1/ 2 α tC = 1/ 2 (2 μ g / R) (v1 / (3 μ g))^2 = v1^2 / (9 μ g)

 

Reemplazando

WFr = - μ M g 5/18 v1^2 / (μ g) + μ M g v1^2 / (9 μ g)

         = - 5/18 M v1^2 + 1/9 M v1^2 = - 1/6 M v1^2