Física 1 (Exactas) Práctica 12.8 - Dinámica del cuerpo rígido

Desde el extremo superior de un plano inclinado se sueltan, sin velocidad inicial, una esfera, un cilindro y un aro homogéneos, que bajan rodando hasta el extremo inferior del mismo. Demuestre que la esfera llega al piso en menos tiempo que el cilindro y éste en menos tiempo que el aro, cualesquiera sean sus masas y sus radios.

 

 

ΔEm = Emf – Emi

 

Donde

ΔEm = variación de la energía mecánica = 0 (No hay fuerzas NO conservativas)

Emf = energía mecánica final = Ecf + Ecrf + Epf

Ecf = energía cinética final = 1 /2 M v^2

M = mesa de la esfera

v = velocidad final

Ecrf = energía cinética de rotación final = 1 /2 I ω^2

I = momento de inercia del cuerpo

ω = velocidad angular final = v / R (condición de rodadura)

Epf = energía potencial final = 0 (piso)

Emi = energía mecánica inicial = Eci + Ecri + Epi

Eci = energía cinética inicial = 0 (vi = 0)

Ecri = energía cinética de rotación inicial = 0 (ω = 0)

Epi = energía potencial inicial = M g H

H = altura inicial

 

reemplazando

1 /2 M v^2 + 1 /2 I (v / R)^2 = M g H

 

Despejando v^2

v^2 = 2 M g H / (M + I / R^2)

 

 

Momento de inercia

Esfera: I = 2/5 M R^2

Cilindro: I = 1/ 2 M R^2

Aro: I = M R^2

 

Reemplazando 

vf^2 Esfera = 2 M g H / (M + 2/5 M R^2 / R^2)

vf^2 Esfera = 10/7 g H

vf^2 Cilindro = 2 M g H / (M + 1/2 M R^2 / R^2)

vf^2 Cilindro = 3 g H

 

vf^2 Aro = 2 M g H / (M + M R^2 / R^2)

vf^2 Aro = g H

 

vf^2 Esfera > vf^2 Cilindro > vf^2 Aro

 

Por lo tanto

t Esfera < t Cilindro < t Aro