Física 1 (Exactas) Práctica 12.4 - Dinámica del cuerpo rígido

Un disco cilíndrico homogéneo de radio R y masa M₁ es arrastrado sobre una superficie horizontal sin fricción por una cuerda que está unida a un cuerpo de masa M₂, como se indica en la Figura Determine,

 

 

a)      La aceleración del centro del disco y la aceleración angular del disco. 

 

Ecuaciones de la dinámica

Cuerpo 1. Ecuación de Newton según x: T = M1 aCM

Cuerpo 1. Torque (respecto del CM): T R = I α

Cuerpo 2. Ecuación de Newton 2: P2 – T = M2 a2

 

Donde

T = tensión

M1 = masa del disco

aCM = aceleración del centro de masa del disco

R = radio del disco

I = momento de inercia del disco = 1 /2 M1 R^2

α = aceleración angular del disco

P2 = peso del cuerpo 2 = M2 g

a2 = aceleración del cuerpo 2

 

Reemplazando en las ecuaciones

T = M1 aCM

T R = 1/ 2 M1 R^2 α

M2 g – T = M2 a2

 

 

Condición de la cuerda

H = D1 + D2

 

Donde

H = desplazamiento de cuerpo

D1 = desplazamiento del disco

D2 = cuerda que se desenrolla del disco = θ R

 

Derivando dos veces

d² H/ dt² = d² D1/ dt² + R d² θ / dt²

 

Donde

d² H/ dt² = a2

d² D1/ dt²  = aCM

d² θ / dt² = α

 

a2 = aCM + R α

 

Reemplazando en las ecuaciones

T = M1 aCM

T R = 1/ 2 M1 R^2 α

M2 g – T = M2 a2

 

Despejando T de las ecuaciones del disco

T = M1 aCM

T = 1/ 2 M1 R α

 

Igualando

M1 aCM = 1/ 2 M1 R α

 

Despejando R α

R α = 2 aCM

 

Reemplazando en la ecuación de las aceleraciones

a2 = aCM + 2 aCM = 3 aCM

 

Reemplazando en la ecuación del cuerpo

M2 g – M1 aCM = M2 3 aCM

 

Despejando aCM

aCM = M2 g / (M1 + 3 M2)

 

Reemplazando y despejando α  de la ecuación en R α

α = 2 aCM / R = 2 M2 g / (M1 + 3 M2) / R

 

 

 

b)     La aceleración del cuerpo de masa M₂. 

 

a2 = aCM + 2 aCM = 3 aCM

 

Reemplazando

a2 = 3 M2 g / (M1 + 3 M2)

 

c)                La tensión en la cuerda.

 

T = M1 aCM

 

Reemplazando

T = M1 M2 g / (M1 + 3 M2)

 

d)                La velocidad del centro de masa del disco cuando se ha desplazado una distancia igual a su diámetro, medida desde la posición en la que estaba en reposo.

 

xCM = xo + vo t + 1/ 2 aCM t^2

vCM = vo + aCM t

 

Donde

xCM = desplazamiento del centro de masa del disco = diámetro = 2 R

xo = desplazamiento inicial del centro de masa del disco = 0

vo = velocidad inicial del centro de masa del disco = 0

aCM = aceleración del centro de masa del disco = M2 g / (M1 + 3 M2)

vCM = velocidad del centro de masa del disco

t = tiempo transcurrido para que el disco se desplace un diámetro

 

Reemplazando y despejando t de la ecuación de la velocidad

t = vCM / aCM

 

Reemplazando en la ecuación del desplazamiento

xCM = 1 /2 aCM (vCM / aCM)^2 = 1 /2 vCM^2 / aCM

 

Despejando vCM

vCM = [2 xCM aCM]^(1/2) = [2 * 2 R M2 g / (M1 + 3 M2)]^(1/2)

 

 

 

e)                La velocidad de la masa colgante en ese instante.

 

v2 = vo2 + a2 t

 

Donde

v2 = velocidad del cuerpo

vo = velocidad inicial del cuerpo = 0

a2 = aceleración del cuerpo = 3 aCM

t = tiempo transcurrido = vCM/aCM (tiempo transcurrido para que el disco se desplace un diámetro)

 

Reemplazando

v2 = 3 aCM t = 3 v = 3 [4 R M2 g / (M1 + 3 M2)]^(1/2)