Física 1 (Exactas) Práctica 12.7 - Dinámica del cuerpo rígido

Un anillo de masa M y radio R cuelga de un soporte, tal que el anillo puede oscilar en su propio plano como un péndulo físico. Encuentre el período T₁ de pequeñas oscilaciones. Suponga un anillo idéntico que puede girar en torno de un eje tangente al anillo y contenido en el plano del mismo. El anillo puede efectuar oscilaciones dentro y fuera del plano. Encuentre el periodo T₂ de pequeñas oscilaciones. ¿Qué oscilación tiene el período más largo? 

 

Caso (a) (" ...el anillo puede oscilar en su propio plano como un péndulo físico ...")

 

EIR = eje de rotación posición del soporte

  

τ  = - P d = I α

 

Donde

τ  = torque respecto del EIR

P = peso = m g

d = distancia de P al EIR = R sen θ (pequeñas oscilaciones sen θ ≈ θ) 

I = momento de inercia respecto EIR = ICM + IS

ICM = momento de inercia respecto del CM = M R^2

IS = desplazamiento del momento de inercia (Steiner) = M R^2

α = aceleración angular = d²θ/dt²

 

Reemplazando

- M g R θ = (M R^2 + M R^2) d²θ/dt²

 

Reordenando

d²θ/dt² + g / (2 R) θ = 0

 

La solución

θ = A cos (ω1 t + ϕ)

 

Donde

A = amplitud de las oscilaciones

ω1 = velocidad angular = [g / (2 R)]^(1/2) = 2π / T1

T1 = periodo

ϕ = fase inicial

 

Reemplazando

T1 = 2π [(2 R) / g]^(1/2)

 

 

Caso (b) (" ... un anillo idéntico que puede girar en torno de un eje tangente al anillo ...")

 

EIR = eje de rotación posición tangente al anillo

  

τ  = - P d = I α

 

Donde

τ  = torque respecto del EIR

P = peso = m g

d = distancia de P al EIR = R sen θ (pequeñas oscilaciones sen θ ≈ θ) 

I = momento de inercia respecto EIR = ID + IS

ID = momento de inercia respecto a un diámetro = 1 /2 M R^2 (Teorema de los ejes perpendiculares)

IS = desplazamiento del momento de inercia (Steiner) = M R^2

α = aceleración angular = d²θ/dt²

 

 

Reemplazando

- M g R θ = (1 /2 M R^2 + M R^2) d²θ/dt²

 

Reordenando

d²θ/dt² + 2/3 g / R θ = 0

 

La solución

θ = A cos (ω t + ϕ)

 

Donde

A = amplitud de las oscilaciones

ω2 = velocidad angular = [2/3 g / R]^(1/2) = 2π / T2

T2 = periodo

ϕ = fase inicial

 

Reemplazando

T2 = 2π [3/2 R / g]^(1/2)

 

Comparando los periodos

T1 = 2π [2 R / g]^(1/2)

T2 = 2π [3/2 R / g]^(1/2)

 

T1 > T2

 

 

Teorema de los ejes perpendiculares

Ix + Iy = ICM

 

Donde

Ix = Iy = ID = Momentos de inercia de diámetros perpendiculares en el plano

ICM = Momento respecto al eje perpendicular = M R^2

 

Reemplazando

2 ID = ICM à ID = (M R^2) / 2