Física 1 (Exactas) Práctica 10.4 - Gravitación

Una partícula de masa m es dejada en el punto A de un túnel sin fricción imprimiéndole una velocidad v₀ (ver Figura). La partícula se halla bajo la acción de la atracción gravitatoria de la Tierra. 

 

a)      Grafique la energía potencial de la partícula en función de la coordenada y. Diga cuál es la máxima velocidad v₀ que puede tener la partícula en A para que su movimiento sea ligado.

 

V(y) = - G MT m / [RT^2 + y^2]^(1/2)

 

Donde

V(y) = energía potencial

G = constante de gravitación universal

MT = masa de la Tierra

m = masa de la partícula

RT = radio terrestre

y = posición de la partícula en el tubo

 

 

Gráfico Google AI

Movimiento ligado à partícula no tiene la energía suficiente para escapar hacia el infinito.

  

En el infinito  (y à ∞)

Em∞ = Ec∞ + V∞

 

Donde

Em∞  = energía mecánica y à ∞

Ec∞ = energía cinética y à ∞ = 1 /2 m v∞^2

v∞ = velocidad en el infinito = 0

V∞ = energía potencial en el infinito = lim      - G MT m / [RT^2 + y^2]^(1/2) = 0

                                                              y à ∞

 

Reemplazando

Em∞ à 0

 

En el punto A ( y = 0)

EmA = EcA + VA

 

Donde

EmA = energía mecánica en A

EcA = energía cinética en A = 1 /2 m vo^2

vo = velocidad en A

VA = energía potencial en A = - G MT m / RT

 

Reemplazando

EmA = 1 /2 m vo^2 – G MT m / RT

 

Movimiento ligado  à EmA < Em∞

 

Reemplazando

1 /2 m vo^2 – G MT m / RT < 0

 

Despejando vo

vo <  [2 G MT / RT]^(1/2)

 

vo max = [2 G MT / RT]^(1/2)

 

 

 

b)     Encuentre la ecuación de movimiento para la partícula. Diga bajo qué condiciones el movimiento será armónico simple y escriba la ecuación de movimiento en ese caso. 

 

Ecuación de movimiento

Fy = m ay

 

Donde

F = fuerza de atracción gravitatoria = - G MT m / [RT^2 + y^2]

Fy = componente según y de F gravitatoria = F ǔy

ǔy = versor según y = y / [RT^2 + y^2]^(1/2)

ay = aceleración según y = d²y / dt²

 

Reemplazando

 - G MT m y / [RT^2 + y^2]^(3/2) = m d²y / dt²

 

Reordenando

d²y / dt² + G MT y / [RT^2 + y^2]^(3/2) = 0

 

 

Movimiento Armónica Simple (MAS)

 

MAS = pequeñas oscilaciones à y << RT

 à RT^2 + y^2 << RT^2

 à G MT / RT^2 = g

 

Reemplazando de la ecuación de movimiento

d²y / dt² + g / RT y = 0

 

Ecuación de movimiento equivale a la ecuación de un péndulo (pequeñas oscilaciones) o resorte

  

 

c)      Para el caso armónico simple, halle la frecuencia de oscilación y determine la posición de la partícula en función del tiempo.

 

Solución de la ecuación de movimiento

y = A cos (ω t) + B sen (ω t)

v = dy / dt = - A ω sen (ω t) + B ω cos (ω t)

 

Donde

y = solución de la ecuación diferencial = posición

v = velocidad = dv / dt

ω = velocidad angular = (g / RT)^(1/2)

 

En  t = 0  à y(0) = 0  y  v(0) = vo

y(0) = A cos (ω 0) + B sen (ω 0) = A à A = 0

v(0) = - A ω  sen (ω 0) + B ω cos (ω 0) = B ω = vo ­­à B =  vo / ω

 

Reemplazando

y = vo / ω sen (ω t)