Física 1 (Exactas) Práctica 10.2 - Gravitación

Aplique el problema anterior considerando que M₁ = M_T (masa de la Tierra), M₁ = M_L (masa de la Luna), D es la distancia Tierra-Luna, y la partícula de masa m es un cohete que se dispara desde la superficie de la Tierra hacia la Luna con una velocidad v₀. Tenga en cuenta que en este problema M₁ y M₂ no son partículas puntuales, sino que tienen radios R_T (radio de la Tierra) y R_L (radio de la Luna), respectivamente.

 

a)      Calcule y grafique el potencial gravitatorio del cohete en función de su distancia a la Tierra, medida desde la superficie terrestre.

 

 V(x) = VT(x) + VL(x)

 

Donde

V(x) = potencial gravitatorio total

VT(x) = potencial gravitatorio de la Tierra = G MT m / (RT + x)

G = constante de gravitación universal

MT = masa de la Tierra

m = masa del cohete

RT = radio de la Tierra

x = distancia del cohete con respecto a la superficie de la Tierra

VL(x) = potencial gravitatorio de la Luna = G ML m / (D – (RT + x))

ML = masa de la Luna

D = distancia Tierra Luna

RL = radio de la Luna

 

Reemplazando

V(x) = - G MT m / (RT + x) -  G ML m / (D – (RT + x)

 

 

Gráfico: Google IA

 

b)     ¿En qué punto de su trayectoria hacia la Luna el cohete tiene aceleración nula?

 

FT + FL = 0

 

Donde

FT = fuerza gravitatoria de atracción de la Tierra = - G MT m / ro^2

ro = distancia del cohete desde el centro de la Tierra

FL = fuerza gravitatoria de atracción de la Luna = G ML m / (D – ro)^2

xo = distancia del cohete desde la superficie de la Tierra = ro - RT

 

Reemplazando

 - G MT m / ro^2 + G ML m / (D – ro)^2 = 0

 

Despejando ro

ro = MT^(1/2) D / (ML^(1/2) + MT^(1/2))

 

Despejando xo

xo = MT^(1/2) D / (ML^(1/2) + MT^(1/2)) – RT

 

 

c)      Calcule la velocidad inicial mínima del cohete necesaria para llegar a este punto y caer en la Luna por la acción de la atracción gravitatoria lunar.

 

Para superar el punto de equilibrio el cohete debe llegar con velocidad nula.

 

Emo = Emf

 

Donde

Emo = energía mecánica inicial (en la superficie de la Tierra) = Eco + V(RT) 

Eco = energía cinética inicial = 1 /2 m vo^2

vo = velocidad inicial

V(RT) = energía gravitatoria inicial =   - G MT m / RT -  G ML m / (D – RT)

Emf = energía mecánica final (en el punto de aceleración nula) = Ecf + V(ro)

Ecf = energía cinética final mínima = 0

V(ro) = energía gravitatoria final =   - G MT m / ro -  G ML m / (D – ro)

ro = distancia del cohete desde el centro de la Tierra = MT^(1/2) D / (ML^(1/2) + MT^(1/2))

 

Reemplazando

1 /2 m vo^2 – V(RT) = V(xo)

 

Despejando vo

vo = [ 2 V(xo) – V(RT)]^(1/2)

 

Reemplazando

vo = [ 2 G [ MT / RT – ML / (D – RT) – ((MT^(1/2) + ML^(1/2))^2 / D ] ^(1/2)

 

 

Datos

G = Constante de Gravitación Universal	6,67 x 10^-11 N m2/ kg2
MT = Masa de la Tierra	5,97 x 10^24 kg
RT = Radio de la Tierra (promedio)	6,37 x 10^6 m
D = Distancia Tierra – Luna (promedio)	3,57 x 10^8 m
ML = Masa de La Luna	7,35 × 10^22 kg
RL = Radio de la Luna (promedio)	3,47 x 10^6 m

 

vo ≈ 1.11 x 10^4 m/s