Física 1 (Exactas) Práctica 10.3 - Gravitación

Considere dos partículas de masas M₁ y M₂, fijas y separadas entre sí por una distancia D. Una tercera partícula de masa m es libre de moverse por un tubo carente de rozamiento, que se halla sobre la mediatriz del segmento determinado por ambas masas. 

 

a)      Calcule la energía potencial gravitatoria en función de la coordenada z que determina la posición. Grafique cualitativamente el potencial. 

 

V(z) = - G M1 m / [(D/2)^2 + z^2]^(1/2) -  G M1 m / [(D/2)^2 + z^2]^(1/2)

 

Donde

V(z) = energía potencial gravitatoria

G = constante de gravitación universal

M1, M2 = masas fijas equidistantes

D = distancia entre las masas

z = posición de la masa m

 

Reordenando

V(z) = - G (M1 + M2) m / [(D/2)^(2) + z^2]^(1/2)

 

Gráfico Google IA

 

b)     Determine la posición de equilibrio indicando si m corresponde a un equilibrio estable o inestable. 

 

Posicion de equilibrio

Punto critico à d V(z) / dz = 0

 

d V(z) / dz  =  1 /2  G (M1 + M2) m  2 z / ((D/2)^2 + z^2)^(3/2)  = 0 à z = 0

 

Estabilidad

 

d² V(z) / dz² =  G (M1 + M2) m / ((D/2)^2 + z^2)^(3/2) – 3 G (M1 + M2) m  z^2  / ((D/2)^2 + z^2)^(5/2) 

 

En z = 0

d² V(z) / dz² =  8 G (M1 + M2) m / D^3  > 0 à mínimo  à estable 

 

 

 

c)      Encuentre la frecuencia angular de oscilación para pequeños apartamientos de la masa m de su posición de equilibrio.

 

Con  z << D

 

La ecuación diferencial

d² V(ε) / dz² =  8 G (M1 + M2) m  / D^3

 

Esta ecuación diferencial tiene una solución oscilatoria con

ω^2  =  8 G (M1 + M2) m  / D^3 / m =  8 G (M1 + M2) / D^3

 

ω = [8 G (M1 + M2) / D^3]^(1/2)

 

 

 

d)     Calcule la fuerza que ejerce el tubo sobre la masa en función de la posición. 

 

F tubo + F = 0

 

Donde

F tubo = fuerza que ejerce el tubo sobre la masa

F = fuerza gravitatoria generada por las M1 y M2 = F1 + F2

F1 = fuerza gravitatoria generada por M1 = - G M1 m / r^2 (D/2 / r)

F2 = fuerza gravitatoria generada por M2 = G M2 m / r^2 (D/2 / r)   

r = distancia entre m y las masas = [(D/2)^2 + z^2]^(1/2)

 

Reemplazando

Ftubo =  G M1 m  D / [ 2 ((D/2)^2 + z^2)^(3/2)] - G M2 m  D / [ 2 ((D/2)^2 + z^2)^(3/2)]

Ftubo  = G (M1 – M2) m D / [ 2 ((D/2)^2 + z^2)^(3/2)]