Una partícula de masa m se acerca desde el infinito con velocidad y parámetro de impacto b a un cuerpo de masa M, que se halla fijo en el punto O. Debido a la atracción gravitatoria ejercida por M, la partícula describe una trayectoria hiperbólica, y al pasar por el punto de máximo acercamiento (punto A) se engancha con un resorte de masa despreciable, constante elástica k y longitud natural l0 = r0. El otro extremo del resorte está sujeto a un eje que pasa por O. Considere que la energía potencial gravitatoria en el infinito es nula (es decir, VG = 0 cuando la partícula se halla suficientemente alejada del cuerpo).
a.1. Diga qué magnitudes se conservan para la
partícula de masa m antes y después de alcanzar el punto A.
Energía mecánica (Em)
Las fuerzas actuantes (gravedad y elástica) son conservativas
La masa se
“engancha” (no choca) no hay perdida de energía
La energía
mecánica SE conserva
Momento angular (L)
La fuerza de gravedad y la elástica son fuerzas centrales (apuntan al centro O).
Torque = 0 à momento angular SE conserva.
a.2. Calcule la velocidad de la partícula en el punto
A y la distancia r0 de máximo acercamiento.
Momento angular
Donde
L = momento
angular
m = masa m
r =
distancia al punto O
v =
velocidad
Momento
angular inicial (Lo)
r = b
v = vo
Reemplazando
Lo = m d vo
Momento
angular en A (LA)
r = ro
v = vA
Reemplazando
LA = m ro
vA
Igualando
ambas ecuaciones
m b vo = m
ro vA à b vo = ro vA
Energía mecánica
Em = Ec + Vg
Donde
Em =
energía mecánica
Ec =
energía cinemática = 1 /2 m v^2
Vg =
energía potencial = - G M m / r
Donde
G =
constante gravitación Universal
M = masa
central
Energía
mecánica inicial (Emo)
v = vo
Vgo =
energía potencial en el infinito = 0
Reemplazando
Emo = 1 /2
m vo^2
Energía mecánica
en A (EmA)
v = vA
r = ro
Reemplazando
EmA = 1 /2
m vA^2 – G M m / ro
Igualando
1 /2 m vo^2
= 1 /2 m vA^2 – G M m / ro à 1 /2 vo^2 = 1
/2 vA^2 – G M / ro
Despejando
vo de la ecuación del momento angular
vA = vo b
/ ro
Reemplazando
en la ecuación de la energía mecánica
1 /2 vo^2 =
1 /2 (vo b / ro)^2 – G M / ro
Reordenando
vo^2 ro^2 +
2 G M ro – vo^2 b^2 = 0
Esta
ecuación cuadrática en ro tiene dos soluciones
ro = (- 2
G M +- [4 G^2 M^2 + 4 vo^4 b^2]^(1/2)) / ( 2 vo^2)
ro = - G M
/ vo^2 +- [(G M / vo^2)^2 + b^2]^(1/2)
ro- = - G
M / vo^2 – [(G M / vo^2)^2 + b^2]^(1/2) < 0 (descartada)
ro+ = - G M / vo^2 + [(G M / vo^2)^2 + b^2]^(1/2))
Reemplazando
en vA
vA = vo b / (-
G M / vo^2 + [(G M / vo^2)^2 + b^2]^(1/2))
b-
Después de
engancharse con el resorte, encuentre la velocidad de la partícula (componentes
radial y tangencial) cuando ésta se halla a una distancia d = 2r0 del punto O. Exprese el resultado en términos de r0 y de los datos del problema.
Punto B
d = distancia del punto O = 2 ro
Momento angular (L)
Momento
angular (Lo)
Lo = m b vo
Momento
angular en B (LB)
LB = m rB x
vB
Donde
LB =
momento angular B
rB =
distancia a O = 2 ro ǔr
vB =
velocidad en el punto B = vBr ǔr + vBp ǔp
vBr =
velocidad radial
ǔr =
versor radial
vBp =
velocidad tangencial
ǔp =
versor tangencial
x =
producto vectorial
Reemplazando
LB = m 2 ro
vBp
Igualando
m b vo =
m 2 ro vBp à vBp = b vo /
(2 ro)
Energía mecánica (Em)
Energía
mecánica en A (Emo)
Emo = 1 /2
m vo^2
Energía
mecánica en B (EmB)
EmB = EcB +
VB + EpeB
Donde
EmB = energía
mecánica en B
EcB = energía cinética en B = 1 /2 m vB^2
vB =
velocidad en el punto B = vBr ǔr + vBp ǔp
vBr =
velocidad radial
vBp = velocidad tangencial = b vo / (2 ro)
VB =
energía potencial = - G M m / rB
rB = posición
B = 2 ro
EpeB =
energía potencial elástica = 1 /2 k ∆x^2
k =
constante elástica
∆x =
variación de la longitud del elástico = 2 ro – ro = ro
reemplazando
EmB = 1 /2
m (vBr^2 + (b vo / (2 ro))^2) – G M m / (2 ro) + 1 /2 k ro^2
Igualando
1 /2 m vo^2
= 1 /2 m vBr^2 + 1 / 2 m b^2 vo^2 / (2 ro)^2 – G M m / (2 ro) + 1 /2 k ro^2
Despejando
vBr
vBr = [ vo^2 -
1/ 4 (b vo / ro)^2 + G M / ro
- k/ m ro^2]^(1/2)
No hay comentarios:
Publicar un comentario