Considere dos partículas de masa m que interactúan gravitatoriamente entre sí. Las partículas pueden moverse sobre una mesa horizontal libre de rozamiento. En el instante inicial (t = 0) las partículas se hallan separadas una distancia d y se le da a cada una de ellas una velocidad de módulo v0 y dirección indicada en la Figura.
a) Indique en un diagrama todas las fuerzas que actúan
sobre cada partícula. Para el sistema formado por las dos partículas diga,
justificando su respuesta, si se conserva o no los momentos lineal y angular, y
la energía mecánica.
DCL
Peso = P = m g
Normal = N = reacción del plano
Fg = fuerza gravitatoria entre ambas masas = G m / d^2
Momento lineal (p)
Suma de las
fuerzas externas (al sistema) = 0 à p se conserva
Momento angular (L)
P y N se auto
cancelan
La fuerza
interna (Fg) es central à torque = 0 à L se conserva
Energía mecánica (Em)
P y Fg son
fuerzas conservativas
N es una fuerza
vertical y el desplazamiento en radial à no hay trabajo
à Em se conserva
b) Halle la velocidad del centro de masa del sistema en
el instante inicial. Diga qué tipo de movimiento describe el centro de masa
para t
> 0.
vCM = (m1
v1 + m2 v2) / (m1 + m2)
Donde
vCM =
velocidad del centro de masa
m1 = m2 =
m = masa
v1 =
velocidad de la masa 1 = vo
v2 =
velocidad de la masa 2 = - vo
Reemplazando
vCM = (m vo + m (-vo)) / (m + m) = 0
Como ∑ Fext
= 0 à aCM = 0
CM pertenece en la posición inicial
c) Para cada una de las partículas, calcule el
vector velocidad (componentes paralela y perpendicular al segmento que las une)
cuando las partículas se hallan separadas una distancia d/2.
Componente perpendicular de la velocidad (vp)
L = r x m v
(producto vectorial)
Donde
L = momento
angular
r = vector
desde la masa hasta el centro de masa = r ǔn
r =
distancia al centro
ǔn =
versor normal
m = masa
v =
velocidad de cada masa = vp ǔp + vn ǔn
vp =
velocidad perpendicular
ǔp =
versor perpendicular
vn =
velocidad normal
Reemplazando
L = m r vp
Momento angular inicial (Lo)
r = d / 2
vp = vo
sen α
reemplazando
Lo = m d /2
vo sen α + m d /2 vo sen α = m d vo sen α
Momento angular final (Lf)
r = d / 4
reemplazando
Lf = m d /4
vp + m d /4 vp = m d/2 vp
Igualando
m d vo sen
α = m d/2 vp (Momento angular se conserva)
despejando
vp
vp = 2 vo sen α
Componente normal de la velocidad (vn)
Em = Ec +
Epg
Donde
Em =
energía mecánica
Ec =
energía cinética = 1 /2 m v^2
Epg =
energía potencial gravitatoria = G m^2 / rm
G =
constante de gravitación universal
rm =
distancia entre las masas
Energía mecánica inicial (Emo)
v = vo
rm = d
Reemplazando
Emo = 1 /2 m vo^2 + 1 /2 m vo^2 – G m^2 / d = m vo^2 – G m^2 / d
Energía mecánica final (Emf)
rm = d / 2
Reemplazando
Emf = 1 /2 m v^2 + 1 /2 m v^2 – G m^2 / (d / 2) = m v^2 –
2 G m^2 / d
Igualando
m vo^2 – G
m^2 / d = m v^2 – 2 G m^2 / d
despejando
v^2
v^2 = vo^2
+ G m / d
Modulo v
| v | ^2 =
v^2 = vn^2 + vp^2
Reemplazando
vn^2 + vp^2 = vn^2 + (2 vo sen α)^2 = vo^2 + G m / d
despejando
vn
vn
= [vo^2 (1 - 4 (sen α)^2)
+ G m / d]^(1/2)
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