Una nave espacial de masa m es lanzada desde la superficie terrestre con una velocidad que forma un ángulo con dicha superficie (ver Figura). Suponga que la Tierra, de masa MT y radio RT, permanece en reposo, y que toda su masa se halla concentrada en su centro.
a) Diga, justificando su respuesta, si se conserva o no
los momentos lineal y angular, respectivamente, y la energía mecánica.
Momento lineal (p)
Fuerza
gravitatoria es una fuerza externa a la nave à Momento lineal NO se conserva
Momento angular (L)
Fuerza
gravitatoria es una fuerza central (es colineal con el radio) à Torque = 0 à Momento lineal se conserva
Energía mecánica (Em)
La única
fuerza actuante es la fuerza gravitatoria es conservativa à Energía mecánica se conserva
b) Halle la expresión de la energía mecánica total en
función de la distancia r al centro de la Tierra y de
los datos del problema. Escriba el potencial efectivo que gobierna el
movimiento radial de la nave y grafíquelo en función de r.
Energía mecánica
Donde
Em =
energía mecánica
Ec = energía cinética = 1 /2 m v^2
m = masa
del cohete
v =
velocidad = vr ǔr + vθ ǔθ
vr =
velocidad radial
ǔr =
versor radial
vθ =
velocidad tangencial
ǔθ =
versor tangencial
Ep = energía potencial = - G MT m / r
G =
constante de gravitación universal
MT = masa
de la Tierra
r =
distancia al centro de la Tierra
Reemplazando
Em = 1 /2 m
vr^2 + 1 /2 m vθ^2 – G MT m / r
Momento angular
L = r x p
Donde
L = momento angular
r = distancia al centro = r ǔr
p =
momento lineal = m (vr ǔr + vθ ǔθ)
Reemplazando
L = r ǔr m
(vr ǔr + vθ ǔθ) = m r vθ ǔz
En t = 0 à r = RT y vθ =
vo cos α
L(t=0) = m
RT vo cos α
El momento
angular se conserva
m r vθ = m
RT vo cos α à vθ = RT vo cos α / r
Reemplazando
en E
Em = 1 /2 m
vr^2 + 1 /2 m (RT vo cos α / r)^2 – G MT m / r
Reordenando
Em = 1 /2 m
vr^2 + (1 /2 m (RT vo cos α / r)^2 – G MT m / r)
Potencial efectivo (Vef)
Definiendo Vef (agrupa todo lo que depende de la distancia r)
Vef = (1 /2 m (RT vo cos α / r)^2 – G MT m / r)
Em = 1 /2 m
vr^2 + Vef(r )
c) Diga para qué valores de la energía mecánica total el
movimiento de la nave es ligado. Calcule la velocidad de escape, es decir el
mínimo valor de v0 necesario para
que la nave pueda escapar de la atracción gravitatoria terrestre.
Movimiento ligado
à partícula NO tiene la energía suficiente para escapar de la Tierra à Em < 0
Movimiento NO ligado
à partícula tiene la energía suficiente logra escapar de la Tierra à Em ≥ 0
Em = 0 à ve = velocidad mínima (velocidad de escape)
En la superficie (r = RT)
EmRT = EcRT + EpRT
Donde
EmRT = energía mecánica en la
superficie
EcRT = energía cinética = 1 /2
m ve^2
ve = velocidad de escape
EpRT = energía potencial = – G MT m / RT
Reemplazando
EmRT = 1 /2 m ve^2 – G MT m / RT = 0
Despejando ve
ve = [2 G MT / RT]^(1/2)
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