Física 1 (Exactas) Práctica 10.6 - Gravitación

Un satélite artificial que gira alrededor de la Tierra, a una distancia R de su centro, está compuesto por dos masas m₁ y m₂, unidas entre sí por una barra de longitud L y masa despreciable. Durante todo el movimiento, la barra del satélite se halla orientada en la dirección radial, tal como se muestra en la Figura. Considere que la Tierra permanece fija y desprecie la atracción gravitatoria entre las masas que forman el satélite.

 

a)      Dibuje las fuerzas que actúan sobre cada una de las partículas. Plantee las ecuaciones de Newton y las condiciones de vínculo que rigen su movimiento. 

 

FG1 = fuerza de atracción gravitatoria = G MT m1 / R^2

T = tensión de la barra

FG2 = fuerza de atracción gravitatoria = G MT m2 / (R + L)^2

 

Ecuaciones de Newton

Masa 1: G MT m1 / R^2 -  T = m1 ω1^2 R

Masa 2:  G MT m2 / (R + L)^2 + T = m2  ω2^2 (R + L)

 

Donde

G = constante de gravitación universal

MR = masa de la Tierra

m1 = masa 1

R = distancia de la masa 1 al centro de la Tierra

 ω1 = velocidad angular de la masa 1

T = tensión de la barra

m2 = masa 2

L = distancia entre las dos masas

 ω2 = velocidad angular de la masa 2

 

Condición de vinculo

L = longitud de la barra (constante)

ω1 = ω2 = ω = velocidad angular

 

 

 

b)     Calcule la velocidad angular del movimiento de rotación del satélite y el valor de la tensión ejercida por la barra sobre cada una de las masas. 

 

Sumando ambas ecuaciones de Newton

 G MT (m1 / R^2 + m2 / (R + L)^2)  = ω^2 (m1 R + m2 (R + L))

 

Despejando (ω)

ω = [ G MT (m1 / R^2 + m2 / (R + L)^2) / (m1 R + m2 (R + L)) ]^(1/2)

 

Reemplazando en la Tension (T)

T = G MT m1 / R^2 -  m1 ω^2 R

 

 

c)      En un dado instante se corta la barra que une ambas partes del satélite. A partir de ese momento, utilizando las magnitudes que se conservan, determine cualitativamente la trayectoria de la masa m₁. Justifique su respuesta.

 

Momento angular

La fuerza gravitatoria y el vector distancia son colineales.

No hay torque à El momento angular se conserva

 

Energía mecánica

No hay fuerzas NO conservativas à La energía mecánica se conserva

 

 

En el momento del corte

v1 = ω R

 

Donde

v1 = velocidad de la masa 1

ω = velocidad angular en el momento del corte

 

Analizando la ecuación de Newton

m1 ω^2 R = G MT m1 / R^2 -  T < G MT m1 / R^2

 

Despejando ω^2

ω^2  < G MT / R^3

 

v1 = ω R <  [G MT / R]^(1/2)

 

 

Masa 1 sola en órbita circular

G MT m1 / R^2 = m1 vcir^2 / R

 

Con vcir = velocidad tangencial en órbita circular

 

Despejado vcir

vcir = [G MT / R]^(1/2)

 

Comparando ambas ecuaciones

v1 < vcir  à La velocidad es menor a la necesaria para mantenerla en la órbita R

 

La m1 comienza a caer hacia la Tierra

La trayectoria es una elipse. El punto de corte es el punto más alto de la órbita.