Física 1 (Exactas) Práctica 12.3 - Dinámica del cuerpo rígido

En la Figura se muestran dos cilindros homogéneos de radio R y masa M. El cilindro de arriba, sostenido por un eje horizontal a través de su centro, rota libremente. Se enrosca una cuerda y se deja caer el cilindro inferior. La cuerda no desliza respecto de los cilindros.

a.     ¿Cuál es la aceleración del centro de masa del cilindro inferior?

 

Cilindro superior (solo ROTACION)

 

τ1 = T R = I1 α1

 

Donde

τ1 = Torque respecto del eje de rotación

T = tensión de la cuerda

R = radio del cilindro

I1 = momento de inercia del cilindro 1 = 1 /2 M R^2

M = masa del cilindro

α1 = aceleración angular del cilindro 1

 

Despejando α1

α1 = T R / (1 /2 M R^2) = 2 T / (M R)

 

 

Circulo inferior (ROTACION y TRASLACION)

 

P2 – T = M a

τ2 = T R = I2 α2

 

Donde

P2 = peso del cilindro 2 = M g

a = aceleracion 

τ2 = Torque respecto del eje de rotación

I2 = momento de inercia del cilindro 2 = 1 /2 M R^2

α2 = aceleración angular del cilindro 2

 

Despejando α2

α2 = T R / (1 /2 M R^2) = 2 T / (M R)

 

 

Condicción dinámica

 

y = R θ1 + R θ2

 

Donde

y = distancia recorrida por el cilindro2

R θ1 = cuerda desenrollada del cilindro 1

θ1 = ángulo girado por el cilindro 1

R θ2 = cuerda desenrollada del cilindro 2

θ2 = ángulo girado por el cilindro 2

 

Derivando dos veces

d²y / dt² = R d²θ1 / dt² + R d²θ2 / dt²

 

con

d²y / dt² = a

d² θ1 / dt² = α1

d² θ2 / dt² = α2

 

Reemplazando

a = R α1 + R α2

 

Reemplazando (α1 y α2)

a = R 2 T / (M R) + R 2 T / (M R) = 4 T / M 

 

Despejando T

T = M a / 4

 

Reemplazando T

M g – M a / 4 = M a

 

Despejando a

a = 4/5 g

 

 

b.  Calcule la tensión de la cuerda.

 

Reemplazando en T

T = M 4/5 g / 4 = 1/5 M g

 

 

c.  Calcule la velocidad del centro de masa del cilindro inferior, cuando ha caído una distancia 10 R.

 

y = yo + vo t + 1/ 2 a t^2

v = vo + a t

 

Donde

y = desplazamiento del centro de masa del cilindro 2 = 10 R

yo = desplazamiento inicial del centro de masa del cilindro 2 = 0

vo = velocidad inicial del centro de masa del cilindro 2= 0

a = aceleración = 4/5 g

v = velocidad del centro de masa del cilindro 2

t = tiempo transcurrido

 

Reemplazando y despejando t de la ecuación de la velocidad

t = v /a

 

Reemplazando en la ecuación del desplazamiento

y = 1 /2 a (v / a)^2 = 1 /2 v^2 / a

 

Despejando v

v = [2 y a]^(1/2) = [2 * 10 R 4/5 g]^(1/2) = [4 R g]^(1/2)