Física 1 (Exactas) Práctica 12.6 - Dinámica del cuerpo rígido

Una varilla homogénea de masa M y longitud L es abandonada en reposo en la posición que se observa en la Figura Sus extremos deslizan sobre una superficie cilíndrica de radio R, sin rozamiento. La varilla se mueve en un plano vertical. 

 

 

a)      Hallar, utilizando argumentos cinemáticos, el eje instantáneo de rotación de la varilla cuando ésta adopta la posición horizontal. 

 

“ … Sus extremos deslizan sobre una superficie cilíndrica de radio R …”  à velocidades de los extremos son tangenciales a la superficie del cilindro

 

EIR se puede determinar como la intersección de las proyecciones de las rectas perpendiculares a las velocidades à  las rectas perpendiculares a las velocidades tangenciales son radiales à los radios se intersectan en el eje del cilindro.

 

 

b)     Calcule, por energía, la velocidad del centro de masa de la varilla cuando ésta adopta la posición horizontal.

 

Centro de Masa (CM)

  

Centro del cilindro = centro de coordenadas

 

Posición inicial (0)

Extremo derecho: (R; 0)

Extremo izquierdo: (0; - R)

 

CMo = [(R; 0) + (0;-R)]/2 = (R/2; - R/2)

 

Posición final (f) horizontal

Extremo derecho: (L/2; - h)

Extremo izquierdo: (- L/2; - h)

 

CMf = [(L/2; -h) + (- L/2; - h)]/2 = (0; - h)

 

Con

L^2  = R^2 + R^2  (ver figura) à L = 2^(1/2) R

.h = L / 2 = 2^(1/2) R / 2 = R / 2^(1/2)

 

Reemplazando

CMf = (0; - R / 2^(1/2))

 

 

Energía mecánica

 

ΔEm = Emf – Emo

 

Donde

ΔEm = variación de la energía mecánica = 0 (no hay fuerzas NO conservativas)

Emf = energía mecánica final = Ecrf + Epf

Ecrf = energía cinética rotatoria final = 1 /2 I ω^2

Io = momento de inercia respecto de O = ICM + M h^2

ICM = momento de inercia respecto del CM = 1/ 12 M L^2

ω = velocidad angular de rotación = vCM / h

Epf = energía potencial final = M g (- R/2^(1/2))

Emo = energía mecánica inicial = Eco + Epo

Ecro = energía cinética rotatoria inicial = 0 (vo = 0)

Epo = energía potencial inicial = M g (- R/2)

 

Reemplazando

1 /2 (1/12 M (2^(1/2) R)^2 + M (R/2^(1/2))^2 (vCM / R/2^(1/2))^2 + M g (- R/2^(1/2)) = M g (- R /2)

 

Despejando vCM

vCM = [ 3 /2 g R (1/2^(1/2) - 1)]^(1/2)