El eje instantáneo de rotación es el conjunto de puntos que tienen velocidad nula en un dado instante.
a.
Demuestre que, si
existe, es una recta paralela a Ω
vI = vA +
Ω x rIA
Donde
vI =
velocidad de un punto I perteneciente al eje instantáneo de rotación = 0
vA =
velocidad de un punto cualquiera
Ω = velocidad angular
rIA =
vector entre IA
x =
producto vectorial
Multiplicando
vectorialmente (x) ambos miembros por Ω
Ω x vI = Ω
x vA + Ω x (Ω x rIA) = 0
Usando las
propiedades del doble producto vectorial en el segundo termino
Ω x vA + Ω
(Ω . rIA) - rIA (Ω . Ω) = 0
Si el eje existe à Ω x rIA = 0 à rIA es paralela a Ω
Despejando
rIA
rIA = Ω x
vA / Ω^2
Este es un punto del eje
instantáneo de rotación.
La recta contiene al punto rIA
y es paralela a Ω
Recta: r: rIA + λ Ω
Reemplazando
r: Ω x vA / Ω^2 + λ Ω
Nota: Doble producto: a x (b x
c) = b (a . c) – c (a . b)
b.
Demuestre que si
hay un punto P del cuerpo tal que vP . Ω ≠ 0, entonces no hay eje instantáneo de rotación.
vP . Ω =
vI . Ω
Con vP =
velocidad de cualquier punto del cuerpo
Si existe
el eje instantáneo à vI = 0
Reemplazando
vP . Ω =
0 (Falso ver enunciado) à NO existe el eje
instantáneo de rotación
Las dos propiedades fundamentales del campo de velocidades del cuerpo rígido:
·
El eje instantáneo de rotación es una línea recta con
la dirección de Ω
·
Su existencia requiere obligatoriamente que el
producto escalar entre la velocidad de cualquier punto y la velocidad angular
sea nulo.
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