Un cilindro de radio R = 10 cm rueda sin resbalar sobre un plano horizontal. Su centro se desplaza con velocidad vC = 10 cm/s. Para los puntos P (periférico), Q (a distancia R/2 del centro) y A (sobre una manivela de longitud 2R fija al cilindro):
a) Hallar el vector velocidad en función del tiempo.
vC = ω R (condición de rodadura)
Donde
vC = velocidad
del CM = 10 cm/s (ǐ)
ω = velocidad
angular
R = radio del
cilindro = 10 cm
Reemplazando
ω = vC / R = 10
cm/s / 10 cm = 1 /seg
Ω = velocidad de rotación = - 1 /seg
(ǩ)
P = punto periférico (R = 10 cm)
vP = vCM + Ω x rPCM
donde
vP = velocidad en
el punto P
vCM = velocidad
del CM = 10 cm/s (ǐ)
Ω = velocidad de
rotacion = - 1 /seg (ǩ)
rPCM = vector
entre P y CM = R cos(α(t)) (ǐ) + R sen(α(t)) (ǰ)
R = distancia al
CM = 10 cm
α(t) = variación
del angulo respecto del tiempo t = ω t + αP
ω = velocidad
angular = - 1 /seg
Calculando el
producto vectorial
Ω x rPCM = ( ω
(ǩ)) x (R cos(α(t)) (ǐ) + R sen(α(t)) (ǰ) =
= - ω R sen(α(t)) (ǐ) + ω R cos(α(t)) (ǰ)
= - (- 1 /seg) 10 cm sen (- 1/s t
+ αP) (ǐ) + (- 1 /seg) 10 cm cos (- 1/s t + αP) (ǰ)
Reemplazando
vP = vCM + Ω x rPCM
vP =
[10 cm/s + 10 cm/s sen (- 1/s t + αP)] (ǐ) – 10 cm/s cos (- 1/s t + αP) (ǰ)
Q = punto interno (R/2)
vQ = vCM + Ω x rQCM
donde
vQ = velocidad en
el punto Q
vCM = velocidad
del CM = 10 cm/s (ǐ)
Ω = velocidad de
rotacion = - 1 /seg (ǩ)
rQCM = vector
entre Q y CM = R/2 cos(α(t)) (ǐ) + R/2
sen(α(t)) (ǰ)
R = distancia al
CM = 10 cm
α(t) = variación
del angulo respecto del tiempo t = ω t + αo
αo =
angulo inicial = αQ
ω = velocidad
angular = - 1 /seg
Calculando el
producto vectorial
Ω x rQCM = ( ω
(ǩ)) x (R/2 cos(α(t)) (ǐ) + R/2 sen(α(t)) (ǰ) =
= - ω R/2 sen(α(t)) (ǐ) + ω R/2 cos(α(t)) (ǰ)
= - (- 1 /seg) 5 cm sen (- 1/s t
+ αQ) (ǐ) + (- 1 /seg) 5 cm cos (- 1/s t + αQ) (ǰ)
Reemplazando
vQ = vCM + Ω x rQCM
vQ =
[10 cm/s + 5 cm/s sen (- 1/s t + αQ)] (ǐ) – 5 cm/s cos (- 1/s t + αQ) (ǰ)
A = punto externo (2 R)
vA = vCM + Ω x rACM
donde
vA = velocidad en
el punto A
vCM = velocidad
del CM = 10 cm/s (ǐ)
Ω = velocidad de
rotacion = - 1 /seg (ǩ)
rACM = vector
entre A y CM = 2 R cos(α(t)) (ǐ) +2 R sen(α(t)) (ǰ)
R = distancia al
CM = 10 cm
α(t) = variación
del angulo respecto del tiempo t = ω t + αo
αo =
angulo inicial = αA
ω = velocidad
angular = - 1 /seg
Calculando el
producto vectorial
Ω x rACM = (ω (ǩ))
x (2 R cos(α(t)) (ǐ) + 2 R sen(α(t)) (ǰ) =
= - ω
2 R sen(α(t)) (ǐ) + ω
2 R cos(α(t)) (ǰ)
= - (- 1 /seg) 20 cm sen (- 1/s t
+ αA) (ǐ) + (- 1 /seg) 20 cm cos (- 1/s t + αA) (ǰ)
Reemplazando
vA = vCM + Ω x rPCM
vA =
[10 cm/s + 20 cm/s sen (- 1/s t + αA)] (ǐ) – 20 cm/s cos (- 1/s t + αA) (ǰ)
b) Dibujar la hodógrafa correspondiente (es decir, vy(vx)).
Punto P
vP = [10 cm/s +
10 cm/s sen (- 1/s t + αP)] (ǐ) – 10 cm/s
cos (- 1/s t + αP) (ǰ)
segun x: vxP =
[10 cm/s + 10 cm/s sen (- 1/s t + αP)] à
vxP – 10 cm/s = 10 cm/s sen (- 1/s t + αP)
segun y: vyP =
- 10 cm/s sen (- 1/s t + αP)
Elevando al
cuadrado y sumando
(vxP – 10 cm/s)^2
+ vyP^2 = (10 cm/s)^2
Punto Q
vQ = [10 cm/s +
5 cm/s sen (- 1/s t + αQ)] (ǐ) – 5 cm/s
cos (- 1/s t + αQ) (ǰ)
segun x: vxQ =
[10 cm/s + 5 cm/s sen (- 1/s t + αQ)] à
vxQ – 10 cm/s = 5 cm/s sen (- 1/s t + αQ)
segun y: vyQ =
- 5 cm/s sen (- 1/s t + αQ)
Elevando al
cuadrado y sumando
(vxQ – 10 cm/s)^2
+ vyQ^2 = (5 cm/s)^2
vA = [10 cm/s +
20 cm/s sen (- 1/s t + αA)] (ǐ) – 20 cm/s
cos (- 1/s t + αA) (ǰ)
segun x: vxA =
[10 cm/s + 20 cm/s sen (- 1/s t + αA)] à
vxA – 10 cm/s = 20 cm/s sen (- 1/s t + αA)
segun y: vyA =
- 20 cm/s sen (- 1/s t + αA)
Elevando al
cuadrado y sumando
(vxA – 10 cm/s)^2
+ vyA^2 = (20 cm/s)^2
c) Graficar el módulo de la velocidad en función del
tiempo.
(vxP – 10 cm/s)^2 + vyP^2 = (10 cm/s)^2
(vxQ – 10 cm/s)^2 + vyQ^2 = (5 cm/s)^2
(vxA – 10 cm/s)^2 + vyA^2 = (20 cm/s)^2
d) Graficar las componentes vx(t) y vy(t).
vxP = 10 cm/s + 10 cm/s sen (- 1/s t + αP)
vxQ = 10 cm/s + 5 cm/s sen (- 1/s t + αQ)
vxA = 10 cm/s + 20 cm/s sen (- 1/s t + αA)
vyP = - 10 cm/s sen (- 1/s t + αP)
vyQ = - 5 cm/s sen (- 1/s t + αQ)
vyA = - 20 cm/s sen (- 1/s t + αA)
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