Física 1 (Exactas) Práctica 12.11 - Dinámica del cuerpo rígido

Un cilindro homogéneo de radio R₁ y masa m rueda sin resbalar (hay rozamiento) dentro de una cavidad semicilíndrica de radio R₂ (ver Figura).

 

a)      Si θ es el ángulo de la Figura y v_CM es la velocidad del centro de masa del cilindro de radio R₁, escriba los vectores v_CM y dv_CM/dt en función de datos y de las derivadas de θ con respecto al tiempo.

 

Posición del centro de masa (rCM)

rCM = (R2 – R1) θ

 

Donde

rCM = posición del centro de masa

(R2 – R1) = radio de desplazamiento del CM

θ = angulo barrido

 

Velocidad del centro de masa (vCM)

vCM = drCM / dt = (R2 – R1) dθ / dt

 

Vector vCM

vCM = (R2 – R1) dθ / dt (ǔθ)

 

Con ǔθ = versor tangencial

 

Derivando

dvCM / dt = (R2 – R1) d(dθ / dt) / dt  (ǔθ) + ((R2 – R1) dθ / dt)  d(ǔθ) / dt (ǔr)

                  = (R2 – R1) d²θ / dt²  (ǔθ) + (R2 – R1) (dθ / dt)^2 ǔr

 

Con ǔr = versor radial

 

Nota:

θ varia con el tiempo à d(ǔθ) / dt  = dθ / dt ǔr

 

 

  

b)     Teniendo en cuenta los resultados de a) y que el cilindro rueda sin deslizar, exprese los vectores velocidad angular Ω y aceleración angular dΩ/dt de este cilindro en función de datos y de las derivadas de θ con respecto al tiempo.

 

vCM = R1 ω (condición de rodadura)

 

Con ω = velocidad angular

 

Reemplazando

ω = vCM / R1 = (R2 – R1) / R1  dθ / dt

 

Vector velocidad angular (Ω)

Ω = (R2 – R1) / R1   dθ / dt (ǐ)

 

El cilindro se mueve hacia la derecha (en la dirección de θ +)

Gira en sentido antihorario respecto a su propio eje à giro apunta saliendo del plano (x +) = (ǐ)

 

dΩ / dt = (R2 – R1) / R1   d²θ / dt² (ǐ)

 

 

 

c)      Indique en un dibujo todas las fuerzas que actúan sobre el cilindro y plantee las ecuaciones de Newton y momentos para este cilindro. Obtenga una ecuación diferencial para θ(t) y diga qué tipo de movimiento realiza el cilindro.

 

Ecuaciones de Newton

Según radial: N – Pr = m aCM

Según perpendicular: Froz – Pt = m aCM

Torque: τ = - Froz R1 = I α

 

Donde

N = reacción de la cavidad (ǔr)

P = peso = m g cos θ (ǔr) + m g sen θ (ǔθ)

Froz = fuerza de rozamiento (ǔθ)

aCM = aceleración del CM = (R2 – R1) d²θ / dt^{2 (}ǔθ) + (R2 – R1) (dθ / dt)^2 (ǔr)

τ = torque respecto del CM

I = momento de inercia = 1 /2 m R1^2

α = aceleración angular del CM = (R2 – R1) / R1   d²θ / dt² (ǐ)

 

Reemplazando

según (ǔr): N - m g cos θ = m (R2 – R1) (dθ / dt)^2

según (ǔθ): Froz - m g sen θ = m (R2 – R1) d²θ / dt² 

torque (τ) : - Froz R1 =1 /2 m R1^2 (R2 – R1) / R1   d²θ / dt²

 

 

Despejando Froz de la ecuación del τ

τ : Froz = - 1 /2 m (R2 – R1) d²θ / dt²

 

Reemplazando en la ecuación de (ǔθ)

 - 1 /2 m (R2 – R1) d²θ / dt² - m g sen θ = m (R2 – R1) d²θ / dt²

 

Reordenando

3 /2 (R2 – R1) d²θ / dt² + g sen θ = 0

 

Ecuación diferencial

d²θ / dt² + 2/3 g / (R2 – R1) sen θ = 0

 

Movimiento Oscilatorio Armónico NO lineal

para pequeñas oscilaciones  à Movimiento Armónico Simple (MAS)

 

d)                Si en el instante inicial θ(t = 0) = 0 y dθ/dt (t = 0) = ω₀ , diga cuál es la solución de la ecuación diferencial obtenida en c) para ángulos pequeños. 

 

Ángulos pequeños (pequeñas oscilaciones) à sen θ ≈ θ

 

Reemplazando en las ecuaciones diferencial

d²θ / dt² + 2/3 g / (R2 – R1) θ = 0

 

La solución de la ecuación diferencial

θ(t) = A cos (ω t) + B sen (ω t)

 

Donde

ω = velocidad angular = [2/3 g / (R2 – R1)]^(1/2)

 

Derivando

dθ(t)/dt = - A ω sen (ω t) + B ω cos (ω t)

 

Para t = 0 à  θ(t) = 0 y dθ(t)/dt = ωo

 θ(t)  = A cos (0) + B sen (0) = 0 à A = 0

dθ(t)/dt =  B ω cos (0)  =  ωo à B =  ωo / ω  

 

Reemplazando 

θ(t) = ωo / ω sen (ω t)