Dos átomos de igual masa m que se mueven con velocidades iguales en módulo (v0) y dirección, pero en sentido contrario, interactúan cuando están en una región R del espacio tal como lo muestra la Figura I. Después de la interacción, uno de los átomos se mueve con velocidad v1 como lo indica la Figura II.
a.
¿Se conservan los impulsos lineal y angular del
sistema?
Impulso lineal à Fuerzas externas = 0 à dP/dt = 0
Impulso angular à Toque externo = 0 (No hay fuerzas externas) à dL/dt = 0
P = momento
lineal
L= momento
angular
b.
Calcule la velocidad del centro de masa antes, durante
y después de la interacción.
Velocidad del centro de masa
vCM = (m1
v1a + m2 v2a) / (m1 + m2) (ecuación vectorial)
Donde
vCM =
velocidad del centro de masa (CM)
m1 = masa
del átomo de la izquierda = m
v1a =
velocidad del átomo 1
m2 = masa
del átomo de la derecha = m
v2a =
velocidad del átomo 2
Antes de la interacción
v1a =
(vo; 0)
v2a = (- vo; 0)
Reemplazando
vCMx = (m
vo + m (-vo)) / (m + m) = 0
vCMy = (m 0 + m 0)) / (m + m) = 0
Después de la interacción
dL/dt =
0 à L se conserva
vCM = (0; 0)
Posición del centro de masa
rCM = (m1
r1 + m2 r2) / (m1 + m2) (ecuación vectorial)
Donde
r1 = posición
del átomo 1
r2 = posición
del átomo 2
Antes de la interacción
r1 = posición
del átomo 1 = (vo t; a)
r2 = posición
del átomo 2 = (- vo t; - a)
t = 0
(antes de la intercesión)
Reemplazando
rCMx = (m
vo t + m (-vo t)) / (m + m) = 0
rCMy = (m a + m (-a)) / (m + m) = 0
rCM = (0; 0)
Durante y después de la interacción
vCM = (0;
0) à centro de masa no se desplaza
rCM = (0; 0)
d.
¿Cuál es la velocidad del otro átomo después de la
interacción? Encuentre la trayectoria del otro átomo después de la interacción.
Velocidad del otro átomo
dP/dt = 0 à conservación del momento lineal
Antes de la interacción (0)
Pa = m1 va1
+ m2 va2
Donde
Pa = momento
lineal antes de la interacción
va1 =
velocidad antes del átomo 1 = (vo ; 0)
va2 =
velocidad antes del átomo 2 = (- vo; 0)
Reemplazando
Pax = m vo
+ m (-vo) = 0
Pay = m 0 +
m 0 = 0
Pa = (0;0)
Después de la interacción (d)
Pd = m1 vd1
+ m2 vd2
Donde
Pd =
momento lineal después de la interacción
vd1 =
velocidad después del átomo 1 = (0; v1)
vd2 =
velocidad después del átomo 2 = (v2x; v2y)
Reemplazando
Pdx = m 0 +
m v2x = m v2x = 0 à v2x = 0
Pdy = m v1
+ m v2y = 0 à v2y = - v1
Trayectoria del otro átomo
dL/dt = 0
à conservación del momento angular
L = r1 x
(m1 v1) + r2 x (m2 v2)
Donde
L = momento
angular
r1 = posición
del átomo 1 respecto CM
v1 =
velocidad del átomo 1
r2 = posición
del átomo 2 respecto CM
v2 =
velocidad del átomo 2
Antes de la interacción (a)
La = ra1 x
(m1 va1) + ra2 x (m2 va2)
Donde
La =
momento angular antes de la interacción
ra1 = posición
antes del átomo respecto CM = (0; a) = a ǰ
va1 =
velocidad antes del átomo 1 = (vo; 0)
= vo ǐ
ra2 = posición
antes del átomo 2 respecto CM = (0; - a) = -
a ǰ
va2 =
velocidad antes del átomo 2 = (-vo; 0) = - vo ǐ
Reemplazando
La = a ǰ x
m vo ǐ + (-a) ǰ + m (- vo) ǐ =
= m vo a (- ǩ) + m (-vo) (-a) (- ǩ) = - 2
m vo a (ǩ)
Después de la interacción (a)
Ld = rd1 x (m1 vd1) + rd2 x (m2 vd2)
Donde
Ld =
momento angular después de la interacción
rd1 = posición
después del átomo 1 respecto CM = (- b; rd1y) = - b ǐ + rd1y ǰ
va1 =
velocidad antes del átomo 1 = (0; v1) = v1 ǰ
ra2 = posición
después del átomo 2 respecto CM = (rd2x; rd2y) = rd2x ǐ + rd2y ǰ
va2 =
velocidad antes del átomo 2 = (0; - v1) = - v1 ǰ
Reemplazando
Ld = (- b ǐ
+ rd1y ǰ) x m v1 ǰ + (rd2x ǐ + rd2y ǰ) x m ((- v1 ǰ) =
= (- b m v1) ǩ +
(- rd2x m v1) ǩ
Igualando
La = Ld
- 2 m vo a
= - m v1 (b + rd2x)
Despejando
rd2x
rd2x = 2 vo a / v1 – b
e.
Compare v1 con v0 para diferentes valores del parámetro de impacto a, es decir, en los casos a > b, a = b y a < b.
Las relaciones
de momento lineal o momento angular NO brindan información sobre la relación
entre vo y v1
Por
simetría se podría suponer vo = v1
rd2x = 2
vo a / v1 – b = 2 a - b
Si a > b à rd2x > a
Si a = b à rd2x = a
Si a < b à rd2x < b
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