Física 1 (Exactas) Práctica 9.8 - Teoremas de conservación

Dos partículas de masas m₁ y m₂ se hallan sobre una mesa horizontal, unidas entre sí por una soga de longitud L que pasa a través de un anillo pequeño fijo a la mesa en el punto O. La superficie de la mesa carece de rozamiento y la soga es inextensible y de masa despreciable. Inicialmente ambas partículas están en reposo a una distancia L/2 del punto O, de forma tal que ambos tramos de la soga forman un ángulo recto (ver Figura). El sistema se pone en movimiento imprimiéndole a la partícula m₁ una velocidad v₀ perpendicular a la soga. Considere que las partículas nunca chocan entre sí y que la soga siempre se mantiene tensa. 

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a)      Diga qué magnitudes se conservan para cada partícula por separado y para el sistema formado por ambas partículas y la soga. Justifique sus respuestas. 

 

Momento angular

 

Torque = ∆L

 

Donde

Torque = r x T

r = vector desde la masa hasta el centro O

T = tensión de la soga

∆L = variación del momento angular

 

Masa 1

Torque = r1 x T = 0 ( r y T están sobre la misma dirección) à momento angular se conserva 

 

Masa 2

Torque = r2 x T = 0 ( r y T están sobre la misma dirección) à momento angular se conserva

 

Sistema

Suma torque = 0 à momento angular se conserva

 

 

Energía mecánica

 

∆Em = Wfmc

 

Donde

∆Em = variación de energía mecánica (Em)

Wfnc = trabajo de fuerzas no conservativas = T ∆d

T = tensión

 ∆d = distancia que se movió la masa

 

Masa 1

Wfmc1 = T  ∆d1  ≠ 0 à ∆Em1 ≠ 0 à Energía mecánica NO se conserva

 

Masa 2

Wfmc2 = T  ∆d2  ≠ 0 à ∆Em2 ≠ 0 à Energía mecánica NO se conserva

 

Con ∆d1 = - ∆d2 (la soga es inextensible)

 

Sistema

Wfncs = T ∆d1 + T ∆d2 = 0 à Energía mecánica se conserva

 

b)      Calcule la velocidad de rotación alrededor de O de cada una de las partículas como función de la distancia de m₁ al punto O.

 

 

Masa 1

 ∆L1 = L1 – L1o

 

Donde

∆L1 = variación del momento angular

L1 = momento angular = m1 r1 v1

m1 = masa 1

r1 = distancia al origen O

v1 = velocidad de masa 1 = r1 ω1

ω1 = velocidad de rotación

L1o = momento angular inicial = m1 ro1 vo1

ro1 = distancia inicial al origen = L / 2

vo1 = velocidad inicial = vo

 

Reemplazando

m1 r1^2 ω1 = m1 L /2 vo

 

Despejando ω1

ω1 = L vo / (2 r1^2)

 

 

Masa 2

∆L2 = L2 – L2o

 

Donde

∆L2 = variación del momento angular

L2 = momento angular = m2 r2 v2

m2 = masa 2

r2 = distancia al origen O

v2 = velocidad de masa 2 = r2 ω2

ω2 = velocidad de rotación

L2o = momento angular inicial = 0 (parte del reposo)

 

Reemplazando

m2 r2^2 ω2 = 0 à  ω0 = 0

 

 

 

c)     Encuentre la velocidad radial del cuerpo m₁ cuando se halla a una distancia d = 3L/2 del punto O.

 

.d = 3 L/2 à  

Si longitud de la soga = L à d = 3 L/2 imposible

 

Energía mecánica total

∆Em = 0

 

Donde

∆Em = energía mecánica del sistema = Emf – Emo

mesa horizontal à Energia potencial = 0

 

Emf = energía mecánica final = Ec1f + Ec2f

Ec1f = energía cinética inicial de 1 = 1 /2 m1 v1^2

v1 = vector velocidad final de 1 =  v1r (ǔr) + v1t (ǔθ)

v1r = velocidad radial de 1

v1t = velocidad tangencial de 1 = r1 ω1

r1 = distancia al centro O = d

ω1 = velocidad angular 1 = L vo / (2 r1^2)

Ec2f = energía cinética final de 2 = 1 /2 m2 v2^2

v2 = vector velocidad final de 2 = v2r (ǔr) + v2t (ǔθ)

v2r = velocidad radial de 2 = - v1r (soga inextensible)

v2t = velocidad tangencial de 2 = r2  ω2

r2 = distancia al centro 0 = L – d  

ω2 = velocidad angular 2 = 0

 

Emo = energía mecánica inicial = Ec1o + Ec2o

Ec1o = energía cinética inicial de 1 = 1 /2 m1 vo^2

Ec2o = energía cinética inicial de 2 = 0 (parte del en reposo)

 

 (ǔr ) = versor radial

(ǔθ) = versor tangencial ó angular

 

Reemplazando

1 /2 m1 v1r^2 + 1 /2 m1 (d L vo / (2 d^2))^2 + 1 /2 m2 v1r^2 – 1 /2 m1 vo^2 = 0

 

Despejando v1r

v1r = vo [ m1 (1 -  L^2 / (4 d^2)) / (m1 + m2)]^(1/2)