En el sistema de la Figura, dos barras rígidas de masa despreciable están soldadas en el punto O y forman un ángulo α. Una de las barras tiene longitud l, su punto medio es O y en sus extremos se fijan dos pequeñas esferas de masas M. La otra barra está sostenida mediante dos bujes y es el eje de rotación del conjunto que gira con velocidad angular ω constante.
a.
Exprese el vector impulso angular del sistema en
función del tiempo, respecto del punto O.
Eje z: eje
de rotación (barra sujeta por los bujes)
∆LO = LO(t) – LO(0)
LO = r1 x
(M v1) + r2 x (M v2) (ecuación vectorial)
Donde
∆LO =
impulso angular respecto de O = variacion del momento respecto de O
LO(t) =
momento angular respecto del punto O en el instante t
LO(0) =
momento angular respecto del punto O en el instante t = 0
LO = r1 x
(M v1) + r2 x (M v2) (ecuación vectorial)
r1 = posicion
de la masa 1 a O
r2 = posicion
de la masa 2 a O = - r1 (por simetría)
v1 = velocidad de la masa 1
v2 =
velocidad de la masa 2 = - v1 (están
unidas)
Reemplazando
LO = r1 x
(M v1) - r1 x (M (-v1)) = 2 M r1 x v1
Posicion en
función del tiempo
r1 = r1x ǐ + r1y ǰ + r1z ǩ
Donde
r1x =
componente según x de la posicion de la masa = L/2 sen α cos (ω t)
r1y =
componente según y de la posicion de la masa = L/2 sen α sen (ω t)
r1z =
componente según z de la posicion de la masa = L/2 cos α
ω =
velocidad de la rotación
α =
angulo con el eje de rotacion
Reemplazando
r1
r1 = L/2 sen α cos (ω t) ǐ + L/2 sen α sen (ω t) ǰ
+ L/2 cos α ǩ
Velocidad
en función del tiempo
v1 = ω x
r1 (ecuación vectorial)
Donde
v1 =
velocidad de la masa
ω =
velocidad de la rotación = ω ǩ
Reemplazando
v1
v1 = ω ǩ x
(L/2 sen α cos (ω t) ǐ + L/2 sen α sen (ω t) ǰ + L/2 cos α ǩ)
= ω L/2 sen α cos (ω t) ǰ - ω L/2 sen α sen (ω t) ǐ
Reemplazando en LO
LO = 2 M (L/2 sen α cos (ω t) ǐ + L/2 sen α sen (ω t) ǰ + L/2 cos α ǩ) (ω L/2 sen α cos (ω t) ǰ - ω L/2 sen α sen (ω t) ǐ)
= 2 M (L/2 sen α cos (ω t) ω L/2 sen α cos (ω t) ǩ + L/2 sen α sen (ω t) ω L/2 sen α sen (ω t)
ǩ - L/2 cos α
(ω
L/2 sen α
cos (ω
t) ǐ - L/2 cos α
ω
L/2 sen α
sen (ω
t) ǰ
= - M ω L^2 /2 cos α sen α cos (ω t) ǐ - M ω L^2 /2 cos α sen α sen (ω t) ǰ + M ω L^2 /2 (sen α)^2 ǩ
Para t = 0
LO(0) = - M ω L^2 / 2 cos α sen α ǐ + M ω
L^2 /2 (sen α)^2 ǩ
Reemplazando
en ∆LO
∆LO = - M ω L^2
/ 4 sen (2 α) cos (ω t) ǐ - M ω L^2 /4
sen (2 α) sen (ω t) ǰ + M ω L^2 /2 (sen α)^2 ǩ – ( - M ω L^2 / 4
(sen 2 α) ǐ + M ω
L^2 /2 (sen α)^2 ǩ)
b.
Calcule el momento de las fuerzas efectuando la
derivada temporal del impulso angular.
τO = dLO /
dt
donde
τO = momento
de fuerza o torque neto
derivando
τO = M ω^2 L^2 / 4 sen (2 α) sen (ω
t) ǐ -
M ω^2 L^2 / 4 sen (2 α) cos (ω t)
ǰ
c.
Indique (a) y en (b) un esquema para un instante los
resultados obtenidos (preste especial atención a la dirección y sentido de los
vectores).
Para t = 0
LO(0)
= - M ω L^2 / 2 cos α sen α ǐ + M ω
L^2 /2 (sen α)^2 ǩ
τO(0)
= -
M ω^2 L^2 / 4 sen (2 α) ǰ
d.
Identifique cuáles son las fuerzas que producen el
momento hallado en (b).
El torque
es producido por las fuerzas de reacción ejercidas por los dos soportes del eje
de giro (bujes).
e.
¿Influye en los resultados obtenidos la existencia o
no de la gravedad, o su dirección?
La gravedad
NO influye
El centro
de masa coincide con el punto O à rCM = 0 à τpO = rCM x P = 0
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