Física 1 (Exactas) Práctica 9.6 - Teoremas de conservación

El sistema de la Figura consiste de dos masas (m₁ y m₂) unidas por un hilo inextensible que pasa por un orificio practicado en una mesa horizontal sin rozamiento. En cierto instante, la masa m₂ está en reposo y la masa m₁ se mueve con velocidad v₀ a una distancia r₀ del orificio. La masa m₂ puede, o no, continuar en reposo dependiendo de cierta relación matemática entre m₁, m₂, v₀, r₀ y g.

 

 

a)      Determinar esa relación usando las ecuaciones de Newton.

 

 

Masa 1: T = m1 ac1

Masa 2:  T - P2   = m2 a2

 

Donde

T = tensión del hilo

m1 , m2 = masa de cada particula

ac1 = aceleracion centrípeta de la masa 1 = vo^2 / ro

vo = velocidad de la masa 1

ro = distancia al centro (radio de giro)

P2 = peso de la masa 2 = m2 g

a2 = aceleración de la masa 2

 

Reemplazando

m1 vo^2 / ro  - m2 g = m2 a2

 

Despejando a2

a2 = m1 / m2 vo^2/ ro  – g

 

Si m1 / m2 vo^2/ ro  =  g à a2 = 0

 

 

b)     Independientemente de que m₂ se mueva o no, diga qué magnitudes se conservan.  Justifique su respuesta.

 

Momento angular (p)

Torsión = r x T  = 0 ( r y T son paralelas) à momento angular (p) se conserva

 

Energía mecánica (Em)

∆Em = Wfnc = 0 (no hay fuerzas no conservativas) = à Em se conserva

 

 

c)      Calcular las velocidades v₁ y v₂ de ambas partículas y el ángulo que forma v₁ con el hilo, en el instante en que m₂ ha bajado una distancia d. 

 

h + ro = L

 

Donde

h = longitud del hilo vertical

r =  distancia al centro (radio de giro)

L = longitud total del hilo (ideal inextensible)

 

h1 + r1 = L

 

Donde

h1 = nueva longitud del hilo vertical = h + d

d = distancia que baja la masa 2

.r1 = nuevo radio de giro

 

Igualando y despejando r1

r1 = ro – d

 

v1 = [v1t^2 + v1r^2]^(1/2)

 

Donde

v1 = velocidad de la masa 1

v1t = nueva velocidad tangencial de la masa 1

v1r = nueva velocidad radial de la masa 1

 

 

Velocidad tangencial (conservación del momento angular)

 

m1 ro vo = m1 r1 v1t

 

Despejando v1t

v1t = ro vo / (ro – d)

 

 

Velocidad radial (conservación energía mecánica)

 

1/ 2 m1 vo^2 – m2 g h  =  1 /2 m1 (v1r^2 + v1t^2) + 1 /2 m2 v2^2 - m2 g h2

 

Donde

v2 = nueva velocidad de la masa 2 = v1r (hilo inextensible)

 

Reemplazando

1/ 2 m1 vo^2 – m2 g h  =  1 /2 m1 (v2^2 + (ro vo / (ro – d))^2 ) + 1 /2 m2 v2^2 - m2 g ( h + d)

 

Despejando v2

v2 = [(2 m2 g d + m1 vo^2 (1 - ro^2 / (ro – d))^2) / (m1 + m2)]^(1/2)

 

 

Reemplazando en v1

v1 = [ ro^2 vo^2 / (ro – d)^2 + v2^2]^(1/2)

 

Angulo α

 

v1 sen α = v1t = ro vo / (ro – d)

v1 cos α = v1r = v2

 

El cociente de ambas ecuaciones

tan α =  ro vo / ((ro – d ) v2)

 

 

d)     Grafique el potencial efectivo en función de la distancia de m₂ al orificio. Exprese en función de la energía la condición para que m₂ permanezca en reposo y compare con el resultado obtenido en a). 

 

Energía mecanica

Em = 1 /2 m1 (v1r^2 + v1t^2) + 1 /2 m2 v2^2 - m2 g h2

 

Ademas:

v1r = v2

v1t = ro vo / r

h2 = L – r

 

Reescribiendo la energía mecanica

Em = 1 /2 (m1 + m2) v2^2 + 1 /2 m1 (ro vo / r)^2   – m2 g (L – r)  

 

Definiendo Vef( r)

Con Vef( T) = potencial efectivo

Ved( r) = 1 /2 m1 (ro vo / r)^2   – m2 g (L – r)

 

 

Condicion m2 en reposo à minimo de Vef

 

Punto critico dVef/dr = 0 

.dVef / dr = 1 /2 m1 (ro vo )^2 (-2 / r^3) + m2 g = 0

 

Despejando vo en r = ro

vo^2 = m2 / m1 g ro^2

 

 

 

Nota: Gráfico Google IA 

e)     Resuelva numéricamente el problema. Obtenga gráficos de z(t) y de las trayectorias de la partícula sobre la mesa.

 

 Nota: Gráfico Google IA 

Nota: Gráfico Google IA