Física 1 (Exactas) Practica 7.1 - Momento angular

Considere el sistema formado por una barra de longitud L y masa despreciable, en cuyos extremos se hallan fijas sendas masas, de valor m y M, tal como muestra la Figura. El sistema se halla apoyado sobre una superficie horizontal libre de rozamiento, y es libre de girar alrededor de un eje fijo O. El sistema se pone en movimiento dándole a t = 0 una velocidad angular ωo a la barra.

 

a)     Indique qué fuerzas actúan sobre cada una de las partículas y diga si se conserva el momento lineal y el momento angular del sistema con respecto al origen O.

 

Fuerzas

Peso: Pm = m g y PM = M g (vertical hacia abajo).

Normal: Nm y NM reacción de la superficie horizontal a las masas m y M (vertical hacia arriba)

Tensión: T fuerza ejercida por la barra (radial hacia el centro de rotación O)

 

 

Conservación del momento lineal (P)

 

Fm + FM = dP / dt

 

Donde

Fm = fuerza centrípeta sobre m = m ωo^2 rm

ωo = velocidad angular

rm = distancia entre m y O

FM = fuerza centrípeta sobre M = M ωo^2 rM

rM = distancia entre M y O

P = momento lineal

dP / dt = variación del momento lineal respecto del tiempo

 

Reemplazando

Fm + FM = m ωo^2 rm - M ωo^2 rM = ωo^2 (m rm - M rM)

 

Si m rm ≠ M rM à Fm + FM ≠  0 à  dP / dt ≠ 0 à NO se conserva el momento lineal

Si m rm =  M rM à Fm + FM =  0 à  dP / dt = 0 à Se conserva el momento lineal

Si m rm = M rM el punto O está en el centro de masa

 

 

Momento angular

 

τO = dLO / dt

 

Donde

τO = torque de la fuerza externa = rm x Fm + rM x FM = 0

rm x Fm = 0 (tienen el misma linea de aplicación)

rM x FM = 0 (tienen el misma linea de aplicación)

LO = momento angular respecto de O

dLO / dt = variación del momento angular respecto del tiempo

 

Reemplazando

.dLO / dt = 0 à Se conserva el momento angular

 

 

b)     Calcule el momento angular con respecto a O y determine como varía la velocidad angular de las barras con el tiempo.

 

LO = IO ωo

 

Donde

LO = momento angular respecto de O

IO = momento de inercia respecto de O = m rm^2 + M rM^2

ωo = velocidad angular

rm = distancia entre m y O

rM = distancia entre M y O = L - rm

L = longitud de la barra

 

Reemplazando

LO = (m rm^2 + M (L – rm)^2) ωo

 

Momento angular se conserva y el momento de inercia es constante à ω(t) = ωo

 

 

c)     Halle posición y velocidad del centro de masa del sistema en función del tiempo.

 

Centro de Masa

 

rCMO = (m rm – M rM) / (m + M) = (m rm – M (L – rm)) / (m + M)

 

Con rCMO = centro de masa del sistema respecto de O 

 

Movimiento del centro de masa

 

θ = ωo t

 

Con θ = ángulo barrido por la barra

 

Reemplazando

rCM(t) = (rCMO cos (ωo t); rCMO sen (ωo t))

  

Derivando

drCM(t) / dt = ( - rCMO ωo  sen (ωo t) ; rCMO ωo cos (ωo t))

 

 

 

d)   Calcule el impulso angular con respecto al punto O’ (ubicado fuera de barra), situado a una distancia D del punto O.

 

∆JθO´ = LO´ - LO´o

 

Donde

∆JθO´ = impulso angular = variación del momento angular

LO´o = momento angular respecto de O´ inicial = 0 (el sistema se pone en movimiento en t = 0)

LO´ = momento angular respecto a O´

  

LO´ = LO + rOO´ x P (ecuación vectorial)

 

Donde

LO = momento angular respecto a O = IO ωo (vector en la dirección y sentido de ωo)

P = cantidad de movimiento lineal = m vm - M vM

vm = velocidad de m = ωo x rmO 

vM = velocidad de M = ωo x rMO

rCMO = centro de masa del sistema respecto de O = (m rm – M rM) / (m + M)

rOO´ = distancia entre los puntos O y O´ = D (vector horizontal)

 

Reemplazando

LO´ = LO + rOO´ x P

       = IO ωo + D x (m ωo x rmO + M ωo x rMO) =

       = IO ωo + D ωo (m + M) rCMO

 

 

Reemplazando en ∆JOO´

∆JOO´ = (m rm^2 + M (L - rm)^2 ωo + D ωo (m rm + M (L - rm))