Física 1 (Exactas) Práctica 9.5 - Teoremas de conservación

Sobre un plano inclinado de ángulo α  se encuentra una partícula de masa m sostenida por medio de una varilla rígida de longitud L al punto fijo O, de forma tal que la varilla es libre de girar alrededor de dicho punto.

Inicialmente la partícula se halla en el punto A con velocidad v₀ perpendicular a la dirección de la varilla (ver Figura). Considere que la varilla tiene masa despreciable y que no hay rozamiento entre la partícula y el plano. 

 

 

a)      Diga qué magnitudes se conservan para la partícula. Justifique sus respuestas. 

 

Energía mecánica

∆Em = Wfnc

No hay fuerzas no conservativas à energía mecánica se conserva

 

Momento angular (respecto de O)

Torque = r x P  = r m g sen α  ≠ 0 à momento angular NO se conserva

 

b)     Halle la velocidad angular de la partícula alrededor del punto O, como función del ángulo φ.

 

∆Em  = Em  - EmA

 

Donde

∆Em  = variación de la energía mecánica

Em = energía mecánica  = Ec + Ep

Ec = energía cinética = 1 /2 m v^2

m = masa de la particula

v =velocidad tangencial = ω L

ω = velocidad angular

L = longitud de la barra

Ep = energía potencial = m g sen α h

α = angulo del plano inclinado

h = altura = L sen φ

φ = angulo de la varilla con la horizontal

EmA = energía mecánica en A = EcA + EpA

EcA = energía cinética en A = 1 /2 m vo^2

vo = velocidad tangencial en A

EpA = energía potencial en A (φ = -π/ 2) = - m g sen α L

 

Reemplazando

1 /2 m (ω L)^2 + m g sen α L sen φ = 1 /2 m vo^2 - m g sen α L

 

Despejando ω

ω  = - [ vo^2 – 2 g sen α L ( 1 + sen φ)]^(1/2) / L

 

 

 

c)      Halle la condición que debe satisfacer la velocidad v₀ para que la partícula dé un giro completo alrededor del punto O.

 

Para el giro completo  v ≥ 0 para  φ = π / 2

 

v  =  [ vo^2 – 2 g sen α L ( 1 + sen φ)]^(1/2)  

 

Reemplazando

v  = [ vo^2 – 2 g sen α L ( 1 + sen π/2)]^(1/2)  

     = [ vo^2 – 4 g sen α L]^(1/2) ≥ 0

 

Despejando vo

vo  ≥  2 (g sen α L)^(1/2)