Física 1 (Exactas) Practica 8.6 – Trabajo y energía

Considere una partícula de masa m que se mueve en una dimensión bajo la acción de una fuerza de modulo F = - ax³ + bx a lo largo de la dirección x. 

 

a.     Grafique el potencial y analice los posibles movimientos de la partícula para los diferentes valores de su energía total.

 

F(x) = - dV/dx

 

Donde

F(x) = fuerza = - a x^3 + b x

V = potencial

Reemplazando e integrando

V = a x^4 / 4 -  b x^2 /2 + C

 

Con x = 0 y V = 0 à C = 0

 

 

.

 

Puntos críticos

dV / dx = a x^3 – b x = 0

 

soluciones

x = 0 

xo = +- (b / a)^(1/2) 

 

x = 0 à Vmax = 0

x = xo à Vmin  = a ((b / a))^2 / 4 -  b ( b / a) /2  = - b^2 /  (4 a)

 

 

Em = Ec + V

 

Donde

Em = energía total

Ec = energía cinética = 1 /2 m v^2

V = energía potencial

 

 

Em < - b^2 / 4 a

 

Ec + Vmin = Ec – b^2 / (4 a) < - b^2 / (4 a) à Ec < 0 à Movimiento Imposible   

 

 

Em = - b^2 / 4 a

 

Ec + Vmin = Ec – b^2 / (4 a) = - b^2 / (4 a) à Ec = 0  (reposo) à  Movimiento Estático   

 – b^2 / 4 a < Em < 0

 

La partícula queda atrapada en alguno de los dos pozos à Movimiento acotado entre los dos posos

 

 

Em = 0

 

Si la partícula se moverá hasta x = 0 à Movimiento acotado asintótico

 

 

Em > 0

La partícula tiene suficiente energía para superar la barrera V = 0 à Movimiento oscilatorio

 

  

b.     Encuentre las posiciones de equilibrio y determine si son estables o inestables. 

 

Puntos críticos

dV / dx = a x^3 – b x = 0

 

soluciones

x = 0 

xo = +- (b / a)^(1/2) 

 

Calculando la derivada segunda de V

V” = 3 a x^2 – b

 

Si x = 0 à V” (0) = - b  < 0 à equilibrio inestable

Si x = +- (b/ a)^(1/2) à V”((b/ a)^(1/2)) = 3  a b / a   - b = 2 b > 0  à equilibrio estable  

 

 

 

c.      Elija valores para m, a y b y obtenga gráficos para x(t) y v(t) variando las condiciones iniciales (obtenga también gráficos de v(x)). Analice los movimientos posibles para alguna de las siguientes situaciones:

 

(1)   a > 0, b > 0,

 

m = 1; a = 1, b = 2

 

Puntos críticos

dV / dx = x^3 – 2 x = 0

 

soluciones

x = 0 

xo = +- (1 / 2)^(1/2) 

 à Potencial del Doble pozo

  

Em < 0 (Energía baja) à partícula queda atrapada en el pozo derecho

Em > 0 (Energía alta) à partícula supera la barrera y oscila   entre ambos pozos

 

Gráficos posición vs tiempo (x(t))

Nota: Gráfico Google IA 

 Gráficos para velocidad vs tiempo (v(t))

Nota: Gráfico Google IA 

Gráfico velocidad vs posición (v(x)) 

Nota: Gráfico Google IA 

 

(2) a > 0, b < 0. 

 

.m = 1; a = 1, b = - 2 à Pozo único

 

Puntos críticos

dV / dx = x^3 – 2 x = 0

 

soluciones

x = 0 

xo = +- (1 / (- 2))^(1/2) NO existe 

à Potencial de único pozo

Gráfico posición vs tiempo (x(t)) 

 

Nota: Gráfico Google IA 

Gráfico velocidad vs tiempo (v(t)) 

Nota: Gráfico Google IA 

Gráfico velocidad vs posición (v(x)) 

Nota: Gráfico Google IA