Física 1 (Exactas) Practica 8.4 – Trabajo y energía

Sea un péndulo simple, constituido por un cuerpo de masa m suspendido del extremo de una varilla sin masa de longitud L, que oscila en un plano. 

 

a.     Grafique la energía potencial del cuerpo, V, en función de θ, siendo θ el ángulo que forma el hilo con la vertical. Indique los valores máximos y mínimos del potencial.

 

 

V = m g h

 

Donde

V = energía potencial

m = masa del cuerpo

g =aceleración de la gravedad

h = altura = L – L cos θ

L = longitud de la varilla

θ = ángulo con la vertical

 

Reemplazando en V

V = m g L (1 - cos θ)

 

Vmin à  cos θ = 1 à θ = 0 à Vmin = 0

Vmax à cos θ = -1 à θ = π ó θ = - π à Vmax = 2 m g L

 

 

 

b.     Si E es la energía mecánica total, para los casos: E1 < VMAX, E2 = VMAX y E3 > VMAX:

 

  

i.                 estudie cualitativamente el movimiento del cuerpo y diga cómo haría en la práctica para conseguir estos valores de E. 

 

Em = Ec + V

 

Donde

Em = energía mecánica total = E

Ec = energía cinética = 1 /2 m v(θ)^2 > 0

v(θ) = velocidad del cuerpo

V = energía potencial = m g L (1 - cos θ)

 

Reemplazando

Em = 1 /2 m v(θ)^2 + m g L (1 - cos θ)

 

E1 < VMAX

Em1 = Ec + V

En  Ec = 0  à  V < VMAX à - π < θ  < π

 

Movimiento oscilatorio

El péndulo no tiene suficiente energía para llegar al punto más alto.

 

Practica

Se separa el cuerpo un ángulo menor a π

 

 

E2 = VMAX

Em2 = Ec + V

En  Ec = 0  à  V = VMAX à  θ = π

 

Movimiento asintótico

El péndulo teóricamente alcanza la posición vertical, en un equilibrio inestable

 

Practica

El cuerpo se coloca exactamente en π.

Se impulsa el cuerpo desde la posición más baja con una velocidad igual a vo

vo = (4 g L)^(1/2) 

 

 

E3 > VMAX

E3 = Ec + V

En   V =  VMAX à Ec > 0

 

Movimiento rotatorio

La energía cinética nunca se anula, el cuerpo gira a una distancia L del centro de giro

 

Practica

Se impulsa el cuerpo desde la posición más baja con una velocidad superior a vo

vo > (4 g L)^(1/2) 

 

 

ii.               A partir del gráfico V vs. θ obtenga el gráfico de velocidad en función de θ.  

 

E = 1 /2 m v^2 + m g L (1 – cos θ)

 

Despejando v

| v | = [ 2 E / m – 2 g L ((1 – cos θ)]^(1/2)

 

 

 

 

c.      Considere el movimiento del péndulo para amplitudes grandes. Elija algún valor de L y obtenga gráficos para θ(t), dθ/dt (t) y dθ/dt(θ). 

 

c.1. gráficos

 

Ecuación de Newton (sin aproximación a ángulos pequeños)

- m g sen θ = m at

 

Donde

at = aceleración tangencial = L γ

γ = aceleración angular = d²θ / dt²

 

Reemplazando

 d²θ / dt² + g / L sen θ = 0

 

Esta ecuación diferencial tiene como soluciones funciones elípticas de Jacobi

Con  L = 1 m y  distintas amplitudes iniciales (θ = 30°; 90 ° y 150 °)

gráfico  ángulo vs tiempo (θ(t))

Nota: Gráfico Google IA 

gráfico velocidad angular vs tiempo (dθ/dt (t))

Nota: Gráfico Google IA 

gráfico fase vs ángulo ( dθ/dt(θ))

 

Nota: Gráfico Google IA 

 

 

c.2. Estudie la dependencia entre la frecuencia del movimiento y su amplitud.

 

T = 1 / f

 

Donde

T = periodo

f = frecuencia

 

 

Aumento de amplitud (mayor θo) à aumento del periodo (T) à disminución de la frecuencia (f)

(ver gráficos)