Considere dos partículas de masas M1 y M2 fijas y separadas por una distancia D. Una tercera partícula de masa m se mueve bajo la atracción gravitatoria de las otras dos. Suponga que m se mueve sobre la recta que une a M1 y M2, considerando que puede hallarse entre ambas o bien a la izquierda o a la derecha de ellas.
a) Escriba la fuerza neta sobre m, en función de la
posición.
F = G M m / r^2
Donde
F = fuerza gravitatoria entre M y m
G = constante universal de
gravitación
M, m = masas
r = distancia entre M y m
Posición de las masas
M1: (0; 0)
M2: (D; 0)
i.
m entre M1 y M2
F = F1 + F2
Donde
F = fuerza neta sobre m
F1 = fuerza gravitatoria
ejercida sobre m por M1 = - G M1 m / x^2 (ǐ)
M1, M2 = masas fijas
x = distancia entre M1 y m
F2 = fuerza gravitatoria
ejercida sobre m por M2 = G M2 m / (D – x)^2 (ǐ)
D = distancia entre M1 y M2
Reemplazando
F = - G M1 m / x^2 (ǐ) + G M2 m / (D
– x)^2 (ǐ)
ii. m a la izquierda de M1
F = F1 + F2
Donde
F = fuerza neta sobre m
F1 = fuerza gravitatoria
ejercida sobre m por M1 = G M1 m / x^2 (ǐ)
F2 = fuerza gravitatoria
ejercida sobre m por M2 = G M2 m / (D - x)^2 (ǐ)
Reemplazando
F = G M1 m / x^2 (ǐ) + G M2 m / (D -
x)^2 (ǐ)
iii. m a la derecha de M2
F = F1 + F2
Donde
F = fuerza neta sobre m
F1 = fuerza gravitatoria
ejercida sobre m por M1 = - G M1 m / x^2 (ǐ)
F2 = fuerza gravitatoria
ejercida sobre m por M2 = - G M2 m / (x - D)^2 (ǐ)
Reemplazando
F = - G M1 m / x^2 (ǐ) - G M2 m / (x
– D)^2 (ǐ)
b) Calcule y grafique el potencial.
V(r) = - G M m / r
Donde
V(r) = potencial gravitatorio
r = distancia
i.
Potencial entre M1
y M2 (0 < x < D)
V(x) = V1(x) + V2(x)
Donde
V(x) = potencial gravitatorio neto
V1(x) = potencial gravitatorio generado por M1 = - G M1 m / | x |
V2(x) = potencial gravitatorio generado por M2 = - G M2 m / | D – x |
Reemplazando
V(x) = - G M1 m / | x | – G M2
m / | D – x |
ii.
Potencial a la
izquierda de M1 (x < 0)
V(x) = V1(x) + V2(x)
Donde
V(x) = potencial gravitatorio neto
V1(x) = potencial gravitatorio generado por M1 = G M1 m / | x |
V2(x) = potencial gravitatorio generado por M2 = - G M2 m / | D – x |
Reemplazando
V(x) = G M1 m / | x | – G M2 m
/ | D – x |
iii.
Potencial a la derecha
de M2 (D < x)
V(x) = V1(x) + V2(x)
Donde
V(x) = potencial gravitatorio neto
V1(x) = potencial gravitatorio generado por M1 = - G M1 m / | x |
V2(x) = potencial gravitatorio generado por M2 = G M2 m / | x – D |
Reemplazando
V(x) = - G M1 m / | x | + G M2
m / | x – D |
c) Describa cualitativamente el movimiento de m, para
distintos valores de su energía mecánica.
Em = Ec + V(x)
Donde
Em = energía
mecánica
Ec =
energía cinética
V(x) =
energía potencial
Em se
conserva y Ec > 0 à la partícula
solo puede moverse en las regiones Em ≥ V(x)
Potencial máximo à F1 = F2
Reemplazando
G M1 m / x^2 = G M2 m / (D – x)^2
Despejando x
.xmax = M1^(1/2) / (M1^(1/2) + M2^(1/2)) D
Reemplazando en V(x)
Vmax = - G m / D [M1^(1/2) +
M2^(1/2)]^2
Caso 1. Em ≥ 0 y 0 < x < D
La partícula
tiene suficiente energía para superar la barrera Vmax y se moverá libremente
hasta chocar con alguna de las masas (M1 ó M2)
Caso 2. Em ≥ 0 y x < 0
ó D < x
El
movimiento no está acotado hacia el infinito.
Caso 3. Vmax
< Em < 0 y 0 < x < D
La partícula
tiene suficiente energía para superar la barrera Vmax y se moverá libremente
hasta chocar con alguna de las masas (M1 ó M2)
Caso 4. Vmax
< Em < 0 y x < 0 ó D < x
La
partícula tiene un punto de retorno donde su velocidad se hace cero, por lo que
no puede escapar al infinito. Será atraída de vuelta y colisionará con la masa
exterior.
Caso 5. Em <
Vmax y 0 <
x < D
La
partícula queda atrapada en uno de los dos pozos (a la derecha e izquierda de
xmax)
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