Física 1 (Exactas) Práctica 9.9 - Teoremas de conservación

            

Dos partículas de masa m están sujetas a los extremos de una barra de longitud L y masa despreciable en reposo sobre una superficie horizontal exenta de rozamiento. Otra partícula, también de masa m, se mueve a lo largo de una recta perpendicular a la barra con velocidad v₀ y choca quedándose adherida según se indica en las Figs. Describa cuantitativamente el movimiento después del choque, en particular, calcule la variación de energía cinética del sistema debida al choque plástico.

 

  

Caso a

 

 

 

Centro de masa

Antes del choque

Masa superior (0; L/2)

Masa inferior (0; - L/2)

 

xCM = 0

yCM =  (m  L/2 + m (- L/2)  / ( m + m) = 0

 

 

Despues del choque

Masa superior (0; L/2)

Masas inferiores (0; - L/2)

 

xCM = 0

yCM = ( m L/2 + 2 m (- L/2) ) / ( m + 2 m) = - 1 /6  L 

 

 

Velocidad de traslacion del centro de masa (vCM)

 

No hay fuerzas externas à Momento lineal se conserva

 po = pf

 

donde

po = momento lineal inicial = m vo (otra masa)

pf = momento lineal final = M vCM

M = masa toral = 3 m

vCM = vclocidad del centro de masa

 

reemplazando

m vo =  3 m vCM

 

despejndo vCM

vCM = m vo / 3 m = vo /3

 

Velocidad de rotacion (respecto al nuevo centro de masa)

Torque = r x F = 0 (no hay fuerzas externas) à momento angular se conserva

 Lo = Lf

 

donde

Lo = momento angular angular = m vo d1

d1 = distancia entre el centro de masa y el extremo inferior ( donde choca la masa) 

d1 = yCM – y (masa inferior) =  (- L/6)  - ( L/ 2) = L / 3  

Lf = momento anguular final = ICM ω

ICM = momento inercia del sistema = 2 m (L/3)^2 + m (L – L/3)^2 = 2 /3 m L^2

ω = velocidad angular

 

reemplazando

m vo L/3 = 2/3 m L^2 ω

 

despejando ω

ω = vo / (2 L) (en sentido antihorario)

 

El sistema se traslada y gira en sentido antihorario

 

Energia cinetica

∆Ec = Ecf – Ecp

 

Donde

∆Ec = variaicon de la energía cinetica

Ecf = energía cinetica final = Ecft + Ecfr

Ecft = energía cinetica final de traslacion = 1 /2 M vCM^2

Ecfr = energía cinetica final de rotacion = 1 /2 ICM  ω^2

Eco = energía cinetica inicial = 1 /2 m vo^2

 

reemplanzado

∆Ec = 1 /2 * 3 m (vo/3)^2 + 1 /2 (2 /3 m L^2) (vo / (2 L))^2 – 1 /2 m vo^2 =

∆Ec = - 1 /4 m vo^2

 

Choque plástico à sistema pierde energía cinetica

 

 

Caso b

 

Centro de masa

Antes del choque

 Masa superior (0; L/2)

Masa inferior (0; - L/2)

 

xCM = 0

yCM =  (m  L/2 + m (- L/2)  / ( m + m) = 0

 

 

Despues del choque

Masa superior (0; L/2)

Masa inferior (0; - L/2)

Masa que choca = (0; 0)

 

xCM = 0

yCM = ( m L/2 +  m (- L/2) + m * 0 ) / ( m +  m + m) = 0 

 

 El centro de masa no se desplaza

 

 

Velocidad de traslacion del centro de masa (vCM)

 

No hay fuerzas externas à Momento lineal se conserva

po = pf

 

donde

po = momento lineal inicial = m vo (otra masa)

pf = momento lineal final = M vCM

 

reemplazando

m vo =  3 m vCM

 

despejando vCM

vCM = m vo / 3 m = vo /3

 

 

Velocidad de rotacion (respecto al nuevo centro de masa)

 

Torque = r x F = 0 (no hay fuerzas externas) à momento angular se conserva

Lo = Lf

 

donde

Lo = momento angular angular = m vo d2

d2 = distancia entre el centro de masa y donde choca la masa = 0 

Lf = momento anguular final = ICM ω

ICM = momento inercia del sistema = 2 m (L/3)^2 + m (L – L/3)^2 = 2 /3 m L^2

ω = velocidad angular

 

reemplazando

0 = 2/3 m L^2 ω à  ω = 0

 

El sistema se traslada. NO gira

 

 

Energia cinetica

∆Ec = Ecf – Ecp

 

Donde

∆Ec = variaicon de la energía cinetica

Ecf = energía cinetica final =  1 /2 M vCM^2

Eco = energía cinetica inicial = 1 /2 m vo^2

 

reemplanzado

∆Ec = 1 /2 * 3 m (vo/3)^2  – 1 /2 m vo^2 =

∆Ec = - 1 /3 m vo^2

 

 

Choque plástico à sistema pierde energía cinetica