Física 1 (Exactas) Práctica 9.1 - Teoremas de conservación

Dos cuerpos de masas m1 y m2 y velocidades v1 y v2, que se mueven sobre una misma recta, chocan elásticamente. Luego del choque, ambos cuerpos continúan moviéndose sobre la misma recta. 

a)      Halle sus velocidades después del choque. 

 

Cantidad de movimieno lineal

No hay fuerzas externas à cantidad de movimiento lineal se conserva

∆p = pd – pa

 

Donde

∆p = variación de la cantidad de movimiento = 0

pd = cantidad de movimiento final = m1 vd1 + m2 vd2

m1 = masa del cuerpo 1

vd1 = velocidad del cuerpo 1 despues del choque

m2 = masa del cuerpo 2

vd2 = velocidad del cuerpo 2 despues del choque

pa = cantidad de movimiento antes del choque = m1 v1 + m2 v2

v1 = velocidad del cuerpo 1 antes del choque

v2 = velocidad del cuerpo 2 antes del choque

 

Reemplazando

m1 v1 + m2 v2 = m1 vd1 + m2 vd2

 

Reordenando

m1 ( v1 – vd1) = m2 (vd2 – v2)

 

Energía cinética

No hay fuerzas externas à energía cinética se conserva

∆Ec = Ecd – Eca

 

Donde

∆Ec = variación de la energía cinética = 0

Ecd = energía cinética después del choque = 1 /2 m1 vd1^2 + 1 /2 m2 vd2^2

Eca = energía cinética después del choque = 1 /2 m1 v1^2 + 1 /2 m2 v2^2

 

Reemplazando

1 /2 m1 v1^2 + 1 /2 m2 v2^2 = 1 /2 m1 vd1^2 + 1/ 2 m2 vd2^2

m1 v1^2 + m2 v2^2 = m1 vd1^2 + m2 vd2^2

 

reordenando

m1 (v1^2 – vd1^2) = m2 (vd2^2 – v2^2)

m1 (v1 – vd1) (v1 + vd1) = m2 (vd2 – v2) (vd2 + v2)

 

Cociente entre ambas ecuaciones reordenadas

(v1 + vd1) = (vd2 + v2)

 

Despejando vd2

vd2 = v1 + vd1 – v2

 

Sustituyendo en la ecuacion de cantidad de movimiento

m1 v1 + m2 v2 = m1 vd1 + m2 (v1 + vd1 – v2)

 

Despejando vd1

vd1  = (m1 v1 + 2 m2 v2 – m2 v1) / (m1 + m2)

 

Despejando vd1 del cociente

vd1 = vd2 + v2 – v1

 

Sustituyendo en la ecuacion de cantidad de movimiento

m1 v1 + m2 v2 = m1 (vd2 + v2 – v1) + m2 vd2

 

Despejando vd2

vd2  = (2 m1 v1 + m2 v2 – m1 v2) / (m1 + m2)

 

 

 

b)     Calcule la variación de energía cinética de cada uno. 

 

Particula 1

 

∆Ec1 = Ecd1 – Eca1

 

Donde

∆Ec1 = variación de la energía cinética

Ecd1 = energía cinética después del choque = 1 /2 m1 vd1^2

Eca1 = energía cinética después del choque = 1 /2 m1 v1^2

 

∆Ec1 = 1 /2 m1 ((m1 v1 + 2 m2 v2 – m2 v1) / (m1 + m2))^2 – 1 /2 m1 v1^2

 

 

Particula 2

 

∆Ec2 = Ecd2 – Eca2

 

Donde

∆Ec2 = variación de la energía cinética

Ecd2 = energía cinética después del choque = 1 /2 m2 vd2^2

Eca2 = energía cinética después del choque = 1 /2 m2 v2^2

 

∆Ec2 = 1 /2 m2 ((2 m1 v1 + m2 v2 – m1 v2) / (m1 + m2))^2 – 1 /2 m2 v2^2

 

 

c)      Resuelva (a) y (b) para el caso v2 = 0.  

 

Con  v2 = 0

 

Reemplazando

vd1  = (m1 v1  – m2 v1) / (m1 + m2)

vd2  = 2 m1 v1 / (m1 + m2)

 

∆Ec1 = 1 /2 m1 ((m1 – m2 ) v1 / (m1 + m2))^2 – 1 /2 m1 v1^2

∆Ec2 = 1 /2 m2 (2 m1 v1 / (m1 + m2))^2

 

 

d)     Especialice los resultados obtenidos en (c) para los casos m₁ = m₂, m₁ >> m₂ y m₁ << m₂.

 

Caso I. m1 = m2

m1 = m2 = m

Reemplazando

vd1  = 0

vd2  =v1

 

∆Ec1 = – 1 /2 m v1^2

∆Ec2 = 1 /2 m v1^2

 

Caso II. m1 >> m2

Con m1 >>m2 à m2 / m1 ≈ 0

 

Reemplazando

vd1  =  v1 (1  – m2/ m1) / (1 + m2/m1) ≈ v1

vd2  = 2  v1 / (1 + m2/ m1) ≈  2 v1

 

∆Ec1 = 1 /2 m1 [ (1 – m2/m1 ) v1 / (1 + m2/ m1)]^2 – 1 /2 m1 v1^2 ≈ 0

∆Ec2 = 1 /2 m2/m1 [2 v1 / (1 + m2/m1)]^2  ≈ 0

 

 

Caso III. m1 << m2

Con m1 << m2 à m1 / m2 ≈ 0

 

Reemplazando

vd1  = v1 (m1/m2 – 1) / (m1/m2 + 1) ≈ - v1

vd2  = 2 (m1/m2)  v1 / (m1/m2 + 1) ≈  0

 

∆Ec1 = 1 /2 m1 [(m1/m2 – 1) v1 / ( (m1/ m2 + 1)]^2 – 1 /2 m1 v1^2 ≈ 0

∆Ec2 = 1 /2  m2 [(m1/m2)  2 v1 / (m1/m2 + 1)]^2  ≈ 0