Considere una partícula de masa m que se mueve en una dimensión bajo la acción de una fuerza F = − ax3 en la dirección x.
a.
Demuestre que dicha fuerza es conservativa y calcule
el potencial.
F = solo depende de una
dimensión (x); no depende del tiempo (t) ni la velocidad (v)à fuerza conservativa
F(x) = - dU / dx
Donde
U = función potencial
Despejando
U(x) = - ∫ F(x) dx = - ∫ (- a
x^3) dx = a /4 x^4 + C
Definiendo U(0) = 0 à C = 0
U(x) = a /4 x^4
b.
Grafique el potencial y analice los posibles
movimientos de la partícula.
Movimiento de la particula
F = m a
Donde
F = fuerza
m = masa
a = aceleración = d2x
/ dt2
Reemplazando
- a x^3 = m d2x /
dt2
Ecuación de movimiento
d2x / dt2 +
a / m x^3 = 0 à Movimiento
oscilatorio
Posición de equilibrio
– a xeq^3 = 0 à xeq = 0
Si x > 0 à F < 0
Si x < 0 à F > 0
La fuerza siempre se opone al
movimiento à xeq = 0 equilibrio estable
Energia mecánica
Em = Ec + V(x)
Donde
Em = enegia mecánica
Ec = energía cinetica = 1 / 2
m v^2
m = masa
v = velocidad
V(x) = energia potencial = 1
/4 a x^4
Reemplazando
Em = 1 /2 m v^2 + 1 /4 a x^4
Dado que Ec >
0 siempre à Em ≥ V(x)
El movimiento esta confinado
entre x = - A y x = A donde v = 0
NO hay fuerzas NO conservativas
à Em se conserva
Si x = A ( v = 0)
Em = 1 /4 a A^4 à A = (4 Em / a)^(1/4)
c.1. Elija valores para m y a y obtenga
gráficos para x(t) y v(t) variando las condiciones iniciales (obtenga también
gráficos de v(x))
Ecuación x(t)
d2x / dt2 +
a / m x^3 = 0
reemplazando en la ecuación de
movimiento
v dv/dx = - a /
m x^3
Integrando
v^2 / 2 = - a / m x^4 / 4 + C
Si en t = 0 à x = A y v = 0
0 = - a / m A^4 / 4 + C à C = a / m A^4
/ 4
Reemplazando en la ecuación de
v
v(x) = [ a / (2
m) (A^4 – x^4) ]^(1/2)
v(x)
= dx / dt
Reemplazando
dx / dt = [ a / (2 m) (A^4 –
x^4) ]^(1/2)
Reordenando y separando
variables
dx / (A^4 – x^4)^(1/2) = (
a / (2 m))^(1/2) dt
Integrando
x(t) = A CS(xo (a / m)^(1/2) t ; 1/ 2^(1/2))
Las curvas x(t) son cosenos de Jacobi (no son senos o cosenos perfectos) tienen ligeramente aplanadas las crestas y al aumentar la amplitud inicial (A) describen ciclos más cortos
Si m = 1 y a = 1 à x(t) = A CS(A (t ; 1/ 2^(1/2))
Nota: Gráfico Google IA
Ecuación v(t)
v(t) = dx / dt
derivando
v(t) = A [SN A (a / m)^(1/2) t ; 1/ 2^(1/2)) DN(A (a / m)^(1/2) t ; 1/ 2^(1/2)) (A (a / m)^(1/2))
SN = funcion seno de Jacobi
DN = delta de amplitud de
Jacobi
Las
curvas v(t) son senos de Jacobi y delta de amplitud (no son senos perfectas)
tienen más aplanadas las crestas (efecto de DN) y al aumentar la amplitud
inicial (A) describen ciclos mas cortos
Ecuación v(x)
Em = 1 /2 m v^2
+ 1 / 4 a x^4
En el punto de retorno à v= 0 y x = A
Reemplazando (con ∆Em = 0)
1 /2 m v^2 + 1 /4 a x^4 = 1 /
4 a A^4
Despejando v
v = (( a / (2 m) ( A^4 – x^4))^(1/2)
La
curva v(x) son cerradas y simétricas (la energía se conserva)
Nota: Gráfico Google IA
c.2. ¿Qué tipo de
movimiento se obtiene?
El movimiento es acotado (entre – A y + A) y periódico,
Tipo de Movimiento à Oscilación periódica NO armónica
c.3. Estudie
numéricamente la dependencia entre la frecuencia del movimiento y su amplitud.
Em = 1 /2 m v^2 + 1 /
4 a x^4
En el punto de retorno à v = 0 y x = A
Reemplazando (con ∆Em = 0)
1 /2 m v^2 + 1 /4 a x^4 = 1 /
4 a A^4
Despejando v
v = (( a / (2 m) ( A^4 – x^4))^(1/2)
Con v = dx / dt
Reordenando
dt = dx / (( a / (2 m) (A^4 –
x^4))^(1/2)
T = periodo = tiempo de una oscilación
completa
T / 4 = tiempo entre x = 0 y x
= A
Reemplazando
T / 4 = (2 m /a)^(1/2) ∫ dx / (A^4
– x^4))^(1/2)
Con un cambio de variable u =
x / A
T = 4 (2 m / a)^(1/2) 1/A *
1,311
f = 1 / T
Con f = frecuencia
Reemplazando
f = A / 4 (a / (2 m))^(1/2) 1 /
1,311
c.4. Verifique que, con muy buena aproximación, se
cumple que la frecuencia del movimiento es proporcional a la amplitud.
f = C A
f es directamente proporcional a A
C = 1 / 4 (a / (2 m))^(1/2) 1 / 1,311 ≈ 0,1348
( a / m)^(1/2)
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