Física 1 (Exactas) Práctica 9.4 - Teoremas de conservación

Un cuerpo de masa m se halla sujeto a un resorte, de constante elástica k y longitud libre Lo, cuyo otro extremo está fijo a un eje. El sistema se encuentra sobre una superficie horizontal libre de rozamiento. En el instante inicial el resorte tiene una longitud 2 Lo y la masa m tiene una velocidad v₀ formando un ángulo α  con la dirección del resorte.

a)       Diga qué magnitudes se conservan, justificando su respuesta.

 

Fuerzas

Fe = fuerza elástica = - k ∆r (fuerza conservativa)

 

Magnitud que ser conseva

Energía mecánica: se conserva (no hay fuerzas no conservativas)

Momento angular (respecto al origen):  se conserva (Torque = r x Fe = 0)

(r y F son vectores colineales)

 

 

b)       Calcule la velocidad angular y la velocidad radial del cuerpo cuando la longitud del resorte es L = (3/2) Lo.

 

Velocidad angular

∆L = Lf – Li

 

Donde

∆L = variación del momento angular = 0 (se conserva)

Lf = momento angular final =  rf x pf = rf x m vf

Li = momento angular inicial == ri x pi = ri x m vi

 ri = distancia al origen = 2 Lo (ǐ)

pi = momento lineal inicial

m = masa

vi = velocidad inicial = vo cos α (ǐ) + vo sen α (ǰ)

rf = distancia al origen = 3/ 2  Lo 

pf = momento lineal final

m = masa

vf = velocidad final = rf ω

ω = velocidad angular

 

 

Reemplazando

Li = m 2 Lo (ǐ) (vo cos α (ǐ) + vo sen α (ǰ)) =  m 2 Lo vo  sen α (ǩ)

Lf(ǩ) = m (3 /2 Lo )^2  ω (ǩ)

 

Igualando

m 2 Lo vo sen α = m (3 /2 Lo )^2  ω

 

Despejado ω

 ω = 8 / 9 vo sen α / Lo

 

 

Velocidad radial

 

∆Em = Emf  -  Emi

 

Donde

∆Em = variación de la energía mecánica = 0 (se conserva)

Emf = energía mecánica final = 1/2 m vf^2 + 1/2 k ∆xf^2

 vf = velocidad final = vr (ǔr) + vθ (ǔθ)

vr = velocidad radial

vθ = velocidad tangencial = rf ω

rf = distancia al origen = 3/2  Lo

ω = 8 / 9 vo sen α / Lo

∆xf = variación de la longitud final = 3/2 Lo – Lo = 1/2 Lo

Emi = energía mecánica inicial = 1/2 m vi^2 + 1/2 k ∆xi^2

 vi = velocidad inicial = vo

k = constante del resorte

∆xi = variación de la longitud inicial = 2 Lo – Lo = Lo

 

Reemplazando

Emi = 1/2 m vo^2 + 1/2 k Lo^2

Emf = 1/2 m (vr^2 + (3/2 Lo 8/9 vo sen α / Lo)^2 ) + 1/2 k (1/2 Lo)^2

 

Igualando

1/2 m vo^2 + 1/2 k Lo^2 = 1/2 m (vr^2 + (4/3 vo sen α)^2)  + 1/2 k (1/2 Lo)^2

 

Reordenando

m vr^2 + m (4 / 3 vo sen α)^2  + (1 /4  – 1) k  Lo^2 –  m vo^2 = 0

 

Despejando vr

vr   = [vo^2 (1 – 16 / 9 (sen α)^2)  + 3 / 4 (k / m) Lo^2 ]^(1/2)