Considere un cuerpo de masa m que cuelga de una cuerda de longitud L, y masa despreciable, cuyo otro extremo se halla fijo al punto O. Sobre el cuerpo actúa una fuerza de modulo F = F0 cos θ que produce su desplazamiento desde el punto A hasta el punto B (ver la Figura, donde θ es el ángulo medido desde la dirección OA).
En los casos en que:
W = ∫ F . dr
donde
W = trabajo
F = fuerza
dr = diferencial de distancia
F . dr = producto escalar de F y dr
i.
F es una fuerza horizontal.
i.a. Calcular, utilizando coordenadas polares, el
trabajo ejercido por la fuerza F para elevar la masa desde A hasta B,
WAB = ∫ F .
dr
Donde
WAB = trabajo de A y B
A = posición inicial = (L; 0°)
B = posición final = (L; π /2 )
F = fuerza horizontal = Fo cos
θ
Fr = componente radial de F = Fo
cos θ sen θ ǔr
Fθ = componente tangencial de F = Fo cos θ cos θ ǔθ
ǔr = versor radial
ǔθ = versor angular ó tangencial
r = distancia recorrida = L θ
dr = diferencial distancia = L dθ ǔθ
Producto escalar
F . dr = (Fo cos θ (sen θ ǔr + cos θ ǔθ)) . (L dθ ǔθ) = Fo (cos θ)^2 L dθ
Reemplazando
WAB = ∫ F . dr = ∫ Fo (cos θ)^2 L dθ =
= Fo L θ / 2 + (sen 2 θ)) / 4 entre A(L; 0°) y B(L; π /2 ) =
= Fo L
(π /2) / 2 + ( sen (2 π
/2)) / 4
- Fo L (0 / 2 + sen (0) / 4 ) =
WAB = Fo L (π / 4)
i.b. Repetir el cálculo en el caso de que la partícula recorra el camino
en sentido inverso (desde B hasta A). Compare con el valor obtenido en a).
WBA = ∫ F .
dr
Donde
WBA = trabajo de B y A
Reemplazando
WBA = ∫ F . dr = ∫ Fo (cos θ)^2 L dθ =
= Fo L θ / 2 + (sen 2 θ)) / 4 entre B(L; π /2 ) y A(L; 0°) =
= Fo L
(0 / 2 + sen (0) / 4 ) - Fo
L (π
/2) / 2 + ( sen (2 π /2)) / 4 =
WBA = - Fo L
(π / 4)
WAB = - WBA
ii) F es una fuerza
tangente a la trayectoria
ii.a. Calcular, utilizando coordenadas polares, el trabajo ejercido por
la fuerza F para elevar la masa desde A hasta B, en los casos en que:
WAB = ∫ F .
dr
Donde
WAB = trabajo de A y B
A = posición inicial = (L; 0°)
B = posición final = (L; π /2 )
F = fuerza = Fo cos θ ǔθ (tangencial)
ǔθ = versor angular ó tangencial
r = distancia recorrida = L θ
dr = diferencial
distancia = L dθ ǔθ
Producto escalar
F . dr = (Fo cos θ ǔθ) . (L dθ ǔθ) = Fo cos θ L dθ
Reemplazando
WAB = ∫ F . dr = ∫ Fo cos θ L dθ =
= Fo L sen θ entre A(L; 0°) y B(L; π /2 ) =
= Fo L
sen (π /2) - Fo
L sen 0
=
WAB = Fo L
ii.b. Repetir el cálculo en el caso de que la partícula recorra el
camino en sentido inverso (desde B hasta A). Compare con el valor obtenido en
a).
WBA = ∫ F .
dr
Donde
WBA = trabajo de B y A
Reemplazando
WBA = ∫ F . dr = ∫ Fo cos θ L dθ =
= Fo L sen θ
entre B(L; π /2 ) y A(L; 0°) =
= Fo L
sen 0 - Fo L sen (π /2) =
WBA = - Fo L
WAB = - WBA
Nota:
Producto escalar
ǔr . ǔθ = 0
ǔθ . ǔθ = 1
No hay comentarios:
Publicar un comentario