Dos cuerpos de masas m1 y m2, respectivamente, con m1 = 2m y m2 = m que están unidos por un resorte de longitud libre l0 y constante elástica k, se encuentran sobre una superficie horizontal plana y carente de fricción. El sistema se pone en movimiento estirando el resorte hasta una longitud 2 l0 y dándole una velocidad v cada una de las partículas, perpendicular al segmento que las une y en sentidos opuestos.
a) Cuál es la velocidad angular del sistema cuando la
longitud del resorte es (3/2) l0?
No hay fuerzas externa à momento angular se conserva
Centro de masa
CM = (r1 m1 + r2 m2) / (m1 +
m2)
Donde
CM = centro de masa = 0
(origen de las coordenadas)
r1 = distancia de la masa 1
al centro de masa
m1 = masa del cuerpo 1 = 2 m
r2 = distancia de la masa 2
al centro de masa
m2 = masa del cuerpo 2 = m
r = longitud del resorte = r1
+ r2
Reemplazando
CM = (r1 2 m - r2 m) / (2m + m) = 0 à r1 2 m = r2 m
2 r1 = r2
Reemplazando r2
r = r1 + 2 r1 = 3 r1 à .r1 = 1/3 r
Reemplazando r1
r = 1 /2 r2 + r2 à r2 = 2/3 r
Momento angular
L = m1 r1 v1 + m2 r2 v2
Donde
L = momento angular
r1 = distancia de la masa 1
al centro de masa = 1/3 r
v1 = velocidad de la masa 1 =
r1 ω
ω = velocidad angular
r2 = distancia de la masa 2
al centro de masa = 2/3 r
v2 = velocidad de la masa 2 =
r2 ω
Momento inicial (Lo)
r = 2 lo
v1 = v2 = v
Reemplazando
Lo = 2 m 1/3 * 2 lo v + m 2/3 * 2
lo v = 8/3 m lo v
Momento final (Lf)
r = 3/2 lo
Reemplazando
Lf = 2 m (1/3 * 3/2 lo)^2 ω +
m (2/3 * 3/2 lo)^2 ω = 3/2 m lo^2 ω
Igualando Lo = Lf
8/3 m lo v = 3/2 m lo^2 ω
Despejando ω
ω = 16 /9 v / lo
b) Calcule el vector velocidad de cada masa en esa
posición.
vf1 = vf1r
(ǔr) + vf1t (ǔθ)
Donde
vf1 =
vector velocidad final de la masa1
vf1r =
velocidad radial de la masa 1
vf1t =
velocidad tangencial de la masa 1 =
r1f ω
r1f = distancia al centro de masa 1 = 1 /3 * 3/2 lo
= 1 /2 lo
ω
= velocidad angular = 16 /9 v / lo
Reemplazando
vf1 = vf1r ( r ) + 1/2 lo 16/9 v / lo = vf1r (ǔr) + 8 /9 v (ǔθ)
(ǔr) =
versor radial
(ǔθ) = versor
tangencial o angular
vf2 = vf2r
(ǔr) + vd2t (ǔθ)
Donde
vf2 =
vector velocidad final de la masa 2
vf2r =
velocidad radial de la masa 2
vf2t =
velocidad tangencial de la masa 2 = r2f
ω
r2f =
distancia al centro de masa 2 = 2/3 * 3/2 lo = lo
ω
= velocidad angular = 16/9 v / lo
Reemplazando
vf2 = vf2r (ǔr) + lo (16/9 v / lo) (ǔθ) = vf2r (ǔr) + 16/9 v (ǔθ)
Relación velocidades radiales
vCM = (m1 vf1r - m2 vf2r ) / (m1 + m2) = 0
Reemplazando
2 m1 vf1r
– m vf2r = 0 à vf2r = 2 vf1r
Energía mecánica
No hay
fuerzas no conservativas à Energía mecánica se conserva
Energía mecánica inicial (Emo)
Emo = Eco1 + Eco2 + Eepo
Donde
Emo = Energía
mecánica inicial
Eco1 =
energía cinética inicial de la masa 1 = 1/2 m1 v1^2
Eco2 =
energía cinética inicial de la masa 2 = 1/2 m2 v2^2
Eepo = Energía
elástica inicial = 1/2 k (2 lo – lo)^2 = 1/2 k lo^2
Reemplazando
Emo = 1/2 * 2 m v^2 + 1/2 m v^2 + 1/2 k lo^2 = 3/2 m v^2 + 1/2 k lo^2
Energía mecánica final (Emf)
Emf = Ecf1 + Ecf2 + Eepf
Donde
Emf = Energía
mecánica final
Ecf1 =
energía cinética final de la masa 1 = 1/2 m1 vf1^2
vf1 =
velocidad final de la masa 1 = vf1r (ǔr) + 8/9 v (ǔθ)
Ecf2 =
energía cinética final de la masa 2 = 1/2 m2 vf2^2
vf2 =
velocidad tangencial final de la masa 2 = 2 vf1r (ǔr) + 16/9 v (ǔθ)
Eepf = Energía
elástica final = 1/2 k (3/2 lo – lo)^2 = 1/8 k lo^2
Reemplazando
Emf = 1/2 * 2 m ( vf1r)^2 + 1/2 * 2 m (8 /9 v)^2 + 1/2 m (2 vf1r)^2 + 1/2 m (16/9 v)^2 + 1/2 k lo^2 = 3 m vf1r^2 + 64/27 m v^2 + 1/8 k lo^2
Igualando
las Em
3 m vf1r^2 + 64/27 m v^2 + 1/8 k lo^2 = 3/2
m v^2 + 1/2 k lo^2
Despejando
vf1r
vf1r = [(3/2 m v^2 + 1 /2 k lo^2 - 64 /27 m v^2 - 1/8 k lo^2) / (3 m)]^(1/2)
=
[1/8 k lo^2 / m – 47/162 v^2]^(1/2)
Reemplazando
en vf2r
vf2r = 2 [1/8 k lo^2 / m – 47/162 v^2]^(1/2)
Reemplazando
vf1 = [1/8 k lo^2 / m – 47/162 v^2]^(1/2) (ǔr) + 8/9 v (ǔθ)
vf2 = 2 [1/8 k lo^2 / m – 47/162 v^2]^(1/2) (ǔr) + 16/9 v (ǔθ)
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