Física 1 (Exactas) Practica 2.6 – Dinámica

 Una masa se desliza sobre una semiesfera de radio R sin fricción.

 

a)     Calcular el ángulo q para el cual se separa de la superficie esférica si inicialmente la masa m es apartada, en un ángulo muy pequeño, de q = 0 y su velocidad inicial es cero.

 

 

 

Según r: N – Pr = -  m ac

Según q: - Pq = - m at

 

Donde

N = reacción de la superficie de la esfera

Pr =  componente según r de P = P cos q

Pq =  componente según q de P (tangencial) = P sen q

P = peso de la masa = m g

ac = aceleración centrípeta = v^2 / R

at = aceleración tangencial = R α

α = aceleración angular

v = velocidad de la masa

R = radio de la esfera

 

Reemplazando

.N -  m g cos q = - m  v^2 / R

 

Reemplazando en la ecuación según q

m g sen q =  m at

 

at = dv/dt = dv/dq dq/dt = dv/dq ω = dv/dq v / R

 

Reemplazando y reordenando

R g sen q =  v  dv/dq

 

Integrando

 - g R cos q  =  1 /2  v^2 + C

 

Condiciones iniciales ( q = 0; v = 0)

 - g R cos 0  =  C à C = - g R

 

Reemplazando y despejando v^2

v^2 = 2 g R ( 1 – cos q)

 

Reemplazando en la ecuación radial y despejando N

N = 3  m g cos q  -  2 m g

 

La masa se despega cuando N = 0

3  m g cos q  -  2 m g = 0

 

Despejando cos q

cos q = 2 / 3 à  q = arco cos (2 / 3) = 48,2° 

 

b)    Si la masa m se engarza en un riel semicircular sin fricción de radio R, hallar la velocidad con que llega al suelo. ¿Qué aceleración tangencial tiene m en ese instante?

Según r: N = -  m ac

Según q: - P = - m at

 

Reemplazando

m g = m at

 

Despajando at

at = g

 

Reemplazando q = π/2  en la ecuación de v

v^2 = 2 g R (1 – cos π/2)

 

Despejando v

v = raíz cuadrada (2 g R)

 

c)     Si la bolita está engarzada en el riel, estime numéricamente el tiempo que tarda en llegar al suelo si R = 1 cm, 10 cm, 50 cm, 100 cm. Confeccione un gráfico del tiempo de llegada en función de g/R (si lo necesita, calcule el tiempo para otros valores de R).

 

v = Raíz (2 g R ( 1 – cos q))

v = ω R = dq/dt  R  = Raíz cuadrada (2 g R ( 1 – cos q)) 

dq/dt = Raíz (2 g / R) Raíz ( 1 – cos q)

 

Reordenando

dq / Raíz ( 1 – cos q) = Raíz  (2 g / R)  dt

 

Integrando

raíz(2) [1/ 2 ln |(sec (q/2) + 1| - 1/ 2 ln |(sec (q/2) -1| ] = raíz ( 2 g / R) t

 

Reordenando y despejando t

t = raíz (R / 2 g) [1/ 2 ln | (sec (π/4) + 1| - 1/ 2 ln | (sec (π/4) -1|] = raíz (R/ 2 g) * 0,88

 

R	t
1 cm	0,02 seg
10 cm	0,06 seg
50 cm	0,14 seg
100 cm	0,20 seg