Física 1 (Exactas) Practica 1.2.12 Cinemática – Coordenadas polares

 Una catapulta está ubicada a una distancia D de un castillo (ver Figura). La catapulta se utiliza para lanzar proyectiles y consiste en un dispositivo mediante el cual cada proyectil parte desde la posición (1) con velocidad nula, luego se mueve sobre la trayectoria circular de radio R con una aceleración angular dada por d²j/dt² = - [(n+1)K / pⁿ⁺¹ ] jⁿ (donde K es constante y n = 4), y finalmente es liberado en la posición (3).

 

a)     Exprese la velocidad tangencial v del proyectil (cuando está en la catapulta) en función de K, R y j. Calcule v para la posición (2).

 

v = ω R

 

Donde

v = velocidad tangencial

ω = velocidad angular

R = radio

 

Reemplazando en d²j/dt²  con n = 4

d²j/dt² = - [5 K / p⁵ ] j^4

 

con  ω = dj / dt

d (dj / dt) / dt = dω / dt  = dω / dj  dj / dt = dω / dj ω

ω  dω / dj = [5 K / p⁵ ]  j^4

Reordenando 

ω  dω = [5 K / p⁵ ]  j^4    dj

 

integrando

ω^2 / 2 = [5 K / p⁵ ]  j^5 / 5

 

reordenando

 ω^2 = 2 K / p⁵  j^5

 

ω = (2 K / p⁵ )^(1/2)  j^(5/2) + ω1

 

En 1 j1 = p  à  ω(p) = 0 (velocidad nula en 1)

  ω = (2 K / p⁵ )^(1/2)  j^(5/2) + ω1 = 0

 

Despejando ω1

ω1  = - (2 K / p⁵ )^(1/2)  p^(5/2) = - (2 K)^(1/2) 

 

reemplazando

. ω = (2 K / p⁵ )^(1/2)  j^(5/2) - (2 K)^(1/2) 

 

Reemplazando en v

v(j) = (2 K)^(1/2) R (1 -  (j / p)^(5/2))

 

En 2 à  j2 = p / 2

v(j2) = (2 K)^(1/2) R (1 -  (p / 2p)^(5/2))

 

v(p/2) = (2 K)^(1/2) R (1 -  (1 / 2)^(5/2))

 

 

b)    Calcule la distancia D a la que hay que ubicar la catapulta para que los proyectiles lanzados por ella peguen en el punto P del castillo (en función de K, R y g).

 

En 3  à j3 = 0

v(0) = (2 K)^(1/2) R

 

r(t) = (x(t);y(t))

 

Donde 

r(t) = vector posición en t

x(t) = posición en t

y(t) = altura en t

 

Ecuaciones horarias

x(t) = xo + vx t

y(t) = yo + vy t – 1/ 2 g t^2

 

donde

x(t) = posición en t = D

xo = posición inicial = 0

vx = velocidad según x = (2 K)^(1/2) R

y(t) = altura en t = 0

yo = altura inicial = 2 R

vy = velocidad según y = 0

g = aceleración de la gravedad

 

Reemplazando en la ecuación según y

y(t) = 2 R – 1/ 2 g t^2 = 0

 

Despejando t

t = (4 R / g)^(1/2)

 

Reemplazando en la ecuación según x

D = (2 K)^(1/2) R (4 R / g)^(1/2) = (8 K R^3 / g)^(1/2)