El sistema de la figura utiliza dos contrapesos de masa m para levantar un cuerpo de masa M, que se halla inicialmente en reposo sobre el piso. Considere que las sogas son inextensibles y sin masa, y poleas de masas despreciables.
a)
Escriba las ecuaciones de Newton y las condiciones de
vínculo.
Cuerpo 1:
P1x – T1 = m1 a1
Cuerpo 2:
P2x - T2 = m2 a2
Polea: T1 +
T2 – T3 = 0 (polea ideal)
Cuerpo 3:
T3 – P3 = m3 a3
Donde
P1x =
componente x del peso de la masa m = m g sen a
T1 = T2 =
tensiones de los contrapesos = T12
m1 = m2 =
masa de los contrapesos = m
a1 = a2 =
aceleración de los contrapesos = a12
T3 =
tensión del cuerpo
m3 = masa
del cuerpo M
a3 =
aceleración del cuerpo
Posición
original
AD + DC +
CE + EB = L (longitud de la cuerda)
Movimiento
A´D + DC´ +
C´E + EB´ = L (longitud de la cuerda)
Restando
ambas ecuaciones
A´D – AD +
DC´ - DC + C´E – CE + EB´ - EB = 0
d – h – h + d = 0 à h = d
b)
Calcule la aceleración de cada masa en función de m,
M, a y g.
Reemplazando
las ecuaciones
m g sen a - T12 = m a12
m g sen a - T12 =
m a12
T12 + T12 – T3 = 0
T3 – M g =
M a3
Despejando
las tensiones
T12 = m g sen a - m a12
T3 = M g + M a3
Reemplazando
en la ecuación de la polea
2 (m g sen a - m a12)
– (M g + M a3) = 0
Desplazamientos
d = 1 /2 a12 t^2
h = 1 /2 a3
t^2
Igualando
1 /2 a12
t^2 = 1 /2 a3 t^2 à a12 = a3 = a
Reemplazando
en la ecuación de la polea
2 (m g sen a - m a) –
(M g + M a) = 0
Despejando
a
a
= (2 m g sen a - M g ) / (2 m + M)
c)
Si el sistema comienza a accionar cuando se quitan los
soportes que sostienen los contrapesos, indicar cuál es el mínimo valor de m
para levantar el cuerpo a una altura H en un tiempo T.
Reemplazando
en h
H = 1 /2 (2 m g sen a - M g ) / (2 m + M) T^2
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