Un helicóptero se encuentra suspendido en la posición x = L e y = H. En t = 0 el helicóptero comienza a descender con aceleración ay (t) = - k t (k > 0).
En el origen de coordenadas hay un cañón que forma un
ángulo α con la dirección horizontal y dispara proyectiles con velocidad de
salida vo.
a.
Encuentre la trayectoria del proyectil (es decir,
halle y(x)).
Proyectil
rp(t) =
(xp(t);yp(t))
Donde
rp(t) = posición
del proyectil en el instante t
xp(t) = posición
según x en el instante t
yp(t) = altura según
y en el instante t
Ecuaciones horarias
xp(t) = xo
+ vox t
yp(t) = yo
+ voy t – 1/ 2 g t^2
Donde
xo = posición
inicial = 0
yo =
altura inicial = 0
vox =
componente x de la velocidad = vo cos α
voy =
componente y de la velocidad = vo sen α
vo =
velocidad de salida del cañón
g =
aceleración de la gravedad
t = tiempo
Reemplazando
xp(t) = vo
cos α t
yp(t) = vo sen α t – 1/ 2 g t^2
Despejando
t de x(t)
t = xp(t)
/ (vo cos α)
Reemplazando
en yp(t)
yp(t) = vo
sen α xp(t) / (vo cos α) – 1/ 2 g (xp(t) / (vo cos α)) ^2
Ecuación de la trayectoria del proyectil
yp(x) = xp tan α – 1/ 2 g (xp / (vo cos α)) ^2
Grafique y(x) para el proyectil y para el helicóptero.
rh(t) =
(xh(t); yh(t))
Donde
rh(t) = posición
del helicóptero en el instante t
xh(t) = posición
según x en el instante t
yh(t) = altura según
y en el instante t
Ecuaciones
horarias
Según x
xh(t) = xoh
+ voh th
Donde
xh(t) = posición
en t
xoh = posición
inicial = L
voh =
velocidad inicial del helicóptero = 0 (suspendido)
t = tiempo
Reemplazando
xh(t) = L
Según y
ay(t) = d
vy(t) / dt = - k t
Integrando
vy(t) = - k t^2 / 2 + voh
vy(t) = d yh(t) / dt = - k t^2/2
Integrando
yh(t) = -
k t^3 / (2 * 3) + yo
Reemplazando
yo = H
yh(t) = - k t^3 / 6 + H
b.
¿Para qué valores de vo la trayectoria del proyectil y
la del helicóptero se cruzan?
Se cruzan si el proyectil cruza el helicóptero (xp = L) antes de llegar al piso (yp > 0)
Ecuación de
la trayectoria (a)
yp(x) = xp
tan α – 1/ 2 g (xp / (vo cos α)) ^2
Reemplazando
en la ecuación de la trayectoria
yp(x) = L
tan α – 1/ 2 g (L / (vo cos α)) ^2 > 0
Despejando
vo
vo > raíz cuadrada (L g / (sen 2α))
Nota:
L > 0 ; g > 0 ; 0 < α < 90° à sen 2 α > 0
à L g / sen 2
α > 0 existe la raíz cuadrada
c.
Si vo es alguno de los valores hallados en b), diga en
qué instante debe efectuarse el disparo para que el proyectil haga impacto
sobre el helicóptero.
El
encuentro se produce cuando en xe = xp = xh = L y ye = yp = yh en tiempo del encuentro (te)
Igulando las ecuaciones
xe = vo
cos α (te – tpo) = L
ye = vo
sen α (te – tpo) – 1/ 2 g (te – tpo)^2 = - k te^3 / 6 + H
Donde
te =
tiempo de encuentro respecto del inicio de caída del helicóptero (to = 0)
tpo =
instante inicial del proyectil respecto del inicio de caída del helicóptero
te = (L +
vo cos α tpo) / (vo cos α) = tpo + L / (vo cos α)
Reemplazando
en la ecuación ye
ye = L sen
α / cos α – 1/ 2 g (L / (vo cos α))^2 = - k / 6 (tpo + L / (vo cos α))^3 + H
Reordenando
(top + L /
(vo cos α))^3 = (- L sen α / cos α + 1/ 2 g (L / (vo cos α))^2 + H) 6 / k
top = raíz
cubica [(- L tan α + 1/ 2 g (L / (vo cos α))^2 + H) 6 / k] - L / (vo cos α)
.
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