Física 1 (Exactas) Practica 2.4 – Dinámica

Un bloque de masa m1 está colocado sobre un plano inclinado de masa m2 como muestra la figura. El plano inclinado descansa sobre una superficie horizontal. Ambas superficies son sin fricción y ambas, el bloque y el plano, pueden moverse.

 

 

 

a)     Si el plano inclinado está fijo, halle las componentes x e y de la aceleración del bloque.

 

 

Según // = - P1 // = m1 a1//

Según ꓕ = N1 – P1ꓕ = 0

 

Donde

P1 // = componente paralela del P1 = P1 sen φ

P1ꓕ = componente perpendicular del P1 = P1 cos φ

P1 = peso de la masa 1 = m1 g

a1// = componente paralela de la aceleración

N1 = reacción del plano

 

 

 

P1// = P1//x + P1//y (ecuación vectorial)

 

P1//x = P1// sen φ = - m1 g sen φ cos φ à a1x = -  g sen φ cos φ

P1//y = P1// cos φ = - m1 g sen φ sen φ à a1y = - g (sen φ)^2

 

 

b)    Si el plano inclinado es libre de moverse, mostrar que:

  

i)                a1x = - m2 g tan j / (m2 (sec j)^2 + m1 (tan j)^2)

ii)             a2x = m1 g tan j / (m2 (sec j)^2 + m1 (tan j)^2)

iii)            a1y = - ( m1 + m2 ) g (tan j)^2 / (m2  (sec j)^2+ m1 (tan j)^2)

 

 

 

Cuerpo 1 Según x: - N1x = m1 (a1x + a2)

Cuerpo 1 Según y: N1y – P1 = m1 a1y

 

Cuerpo 2 Según x: N1x = m2 a2

Cuerpo 2 Según y: N2 - N1y – P2 = 0

 

Donde

N1x = componente x de N1 = N1 sen φ

N1y = componente y de N1 = N1 cos φ

a1x = componente x de aceleración a1 = a1 cos φ  

a1y = componente y de aceleración a1 = a1 sen φ  

a2 = aceleración de la cuña

m1 = masa del bloque 

m2 = masa de la cuña 

 

Sumando las ecuaciones según x

m1 a1 cos φ + m1 a2 + m2 a2 = 0

 

Despejando a2

a2 = -  a1 cos φ  m1  / (m2 + m1)

 

Reemplazando en las ecuaciones del cuerpo 1

-  N1 sen φ = m1 a1 cos φ  - m1^2 a1 cos φ  / (m2 + m1)

 N1 cos  φ – m1 g  = m1 a1 sen φ  

 

Reordenando

N1 sen φ = - m1 a1 cos φ  +   m1^2 a1 cos φ  / (m2 + m1)

N1 cos  φ =  m1 g + m1 a1 sen φ  

 

Cociente de ambas ecuaciones

sen φ / cos  φ = (- m1 a1 cos φ +   m1^2 a1 cos φ  / (m2 + m1)) / (m1 g + m1 a1 sen φ)

 

Reordenando y despejando a1

a1 = m1 g tan φ / [m1^2 cos φ  / (m2 + m1) -  m1 sen φ tan φ  - m1  cos φ]

 

a1x = a1 cos φ   = m1 g tan φ  cos φ   / [m1^2 cos φ  / (m2 + m1) -  m1 sen φ tan φ  - m1  cos φ]

a1y = a1 sen φ   = m1 g tan φ  sen φ   / [m1^2 cos φ  / (m2 + m1) -  m1 sen φ tan φ  - m1  cos φ]

Reemplazando en a2

a2 = - m1 g tan φ cos φ / [(m1^2 cos φ  / (m2 + m1) -  m1 sen φ tan φ  - m1  cos φ)  (m2 + m1)]