a)
Escriba las ecuaciones de Newton y las condiciones de
vínculo para la partícula.
Ecuaciones de Newton
Según r: Tr - Nr = m ac
Según y : Ty + Ny – P = 0
donde
T = tensión de la cuerda
Tr = componente según r de la tensión =
T sen α
Ty = componente según y de la tensión = T
cos α
N = reacción del cono
Nr = componente según r de la reacción =
N cos α
Ny = componente según y de la reacción =
N sen α
α =
ángulo de la soga con la vertical
ac = aceleración centrípeta = ω^2 R
ω
= velocidad angular = ωo
R = radio de giro = L sen α
L = longitud de la cuerda
P = peso = m g
Radio de giro
b)
Calcule la aceleración de la partícula.
a = ac + ay
(ecuación vectorial)
Donde
a =
aceleración
ac = aceleración
centrípeta = ω^2 R
ay = aceleración
según y = 0 (cuerda inextensible)
Reemplazando
ac
ac = ωo^2 L sen α
c)
Halle la tensión de la cuerda y la fuerza de
interacción ejercida por la superficie. Diga para qué valor de wo esta última fuerza se anula.
Reemplazando
en las ecuaciones de Newton
T sen α - N cos α = ωo^2 L sen α
T cos α + N sen α – m g = 0
Despejando
N en cada ecuación
N cos α = T
sen α - ωo^2 L sen α
N sen α =
- T cos α
+ m g
Cociente
entre ambas ecuaciones
tan α =
(- T cos α + m g) / (T sen α - ωo^2 L sen α)
Reordenando
y despejando T
T = (m g + ωo^2 L sen α tan α) / (sen α tan α +
cos α)
Despejando T en cada ecuación
T sen α = N
cos α + ωo^2 L sen α
T cos α =
m g - N sen α
Cociente
entre ambas ecuaciones
tan α = (N cos α + ωo^2 L sen α) / (m g - N sen α)
Reordenando
y despejando N
N = (m g tan α - ωo^2 L sen α) / (cos α + sen α
tan α)
N = (m g tan α - ωo^2 L sen α) / (cos α + sen α tan α) = 0
m g tan α -
ωo^2 L sen α = 0
Despejando ωo
ωo = raíz cuadrada (m g tan α / (L sen α)) = raíz cuadrada (m g / (L cos α))
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