Un cuerpo de masa m1 se apoya sobre otro de masa m2 como indica la Figura. El coeficiente de rozamiento estático entre ambos es μe. No hay rozamiento entre la mesa y el cuerpo 2.
a.
¿Cuál es la fuerza máxima aplicada sobre el cuerpo 1
que acelera a ambos cuerpos, sin que deslice uno respecto del otro?
Ecuaciones de Newton
Cuerpo 1. según x: F - Froz = m1 a
Cuerpo 1. según
y: N12 – P1 = 0
Cuerpo 2. según
x: Froz = m2 a
Cuerpo 2. según
y: N2 – N21 – P2 = 0
donde
F = Fuerza externa
Froz = fuerza de rozamiento estático máximo entre
el cuerpo 1 y el cuerpo 2 = μe
N12
μe
= coeficiente de rozamiento estático
N12 = fuerza que ejerce el cuerpo 2 sobre el cuerpo 1
N21 = fuerza que ejerce el cuerpo 1 sobre el cuerpo 2
= N12 (acción y reacción)
P1 = peso del cuerpo 1 = m1 g
N2 = fuerza que ejerce la mesa sobre el cuerpo 2
P2 = peso del cuerpo 2 = m2 g
Despejando N12 de la ecuación según y del cuerpo
1
N12 = P1 = m1 g
Sumando las ecuaciones según x
F = (m1 + m2) a
Despejando a
a = F / (m1 + m2)
Reemplazando en la ecuación x del cuerpo 2
μe
m1 g = m2 F / (m1 + m2)
Despejando F
F = μe g m1 (m1 + m2) / m2
b.
¿Cuál es la aceleración del sistema?
Reemplazando
F en a
a = F / (m1 + m2) = μe g m1 (m1 + m2) / m2 / (m1 + m2) = μe
g m1 / m2
c.
Ídem que a) y b) pero si se aplica la fuerza sobre el
cuerpo 2.
Ecuaciones
de Newton
Cuerpo 1. según x: Froz = m1 a
Cuerpo 1. según
y: N12 – P1 = 0
Cuerpo 2. según
x: F - Froz = m2 a
Cuerpo 2. según
y: N2 – N21 – P2 = 0
donde
F = Fuerza externa
Froz = fuerza de rozamiento estático máximo entre
el cuerpo 1 y el cuerpo 2 = μe
N12
μe
= coeficiente de rozamiento estático
N12 = fuerza que ejerce el cuerpo 2 sobre el cuerpo 1
N21 = fuerza que ejerce el cuerpo 1 sobre el cuerpo 2
= N12 (acción y reacción)
P1 = peso del cuerpo 1 = m1 g
N2 = fuerza que ejerce la mesa sobre el cuerpo 2
P2 = peso del cuerpo 2 = m2 g
Despejando N12 de la ecuación según y del cuerpo
1
N12 = P1 = m1 g
Sumando las ecuaciones según x
F = (m1 + m2) a
Despejando a
a = F / (m1 + m2)
Reemplazando en la ecuación x del cuerpo 1
μe
m1 g = m1 F / (m1 + m2)
Despejando F
F
= μe g (m1 + m2)
Reemplazando
F en a
a = F / (m1 + m2) = μe
g (m1 + m2) / (m1 + m2) = μe g
d.
Se aplica ahora sobre la masa 2 una fuerza el doble de
la calculada en c). ¿Cuál es la aceleración de m1 y m2 si el coeficiente de
rozamiento dinámico es μd?
Ecuaciones de Newton
Cuerpo 1. según x: Froz = m1 a1
Cuerpo 1. según
y: N12 – P1 = 0
Cuerpo 2. según
x: F - Froz = m2 a2
Cuerpo 2. según
y: N2 – N21 – P2 = 0
donde
F = Fuerza externa = 2 μe g (m1 + m2)
Froz = fuerza de rozamiento dinámico entre
el cuerpo 1 y el cuerpo 2 = μd
N12
μd
= coeficiente de rozamiento dinámica
N12 = fuerza que ejerce el cuerpo 2 sobre el cuerpo 1
N21 = fuerza que ejerce el cuerpo 1 sobre el cuerpo 2
= N12 (acción y reacción)
P1 = peso del cuerpo 1 = m1 g
N2 = fuerza que ejerce la mesa sobre el cuerpo 2
P2 = peso del cuerpo 2 = m2 g
Despejando N12 de la ecuación según y del cuerpo
1
N12 = P1 = m1 g
Reemplazando
en la ecuación x del cuerpo 1
μd m1 g = m1 a1
Despejando a1
a1 = μd g
Reemplazando
en la ecuación x del cuerpo 2
2 μe g (m1 + m2) - μd
m1 g = m2 a2
Despejando a2
a2 = (2
μe
g (m1 + m2) - μd
m1 g) / m2 = g (2 μe
(m1/m2 + 1) - μd
m1/m2)
e.
Si la dimensión del cuerpo 2 es L y la del cuerpo 1 es l << L, ¿cuánto tardará en caerse si inicialmente estaba apoyada m1 en el centro de m2?
Cuerpo 1: x1 = 1 /2 a1 t^2
Cuerpo 2: x2 = 1 /2 a2 t^2
Distancia a recorrer por el
cuerpo 1 respeto del cuerpo 2
x1 – x2 = 1/ 2 (a1 – a2) t^2
= L /2 – l /2
Despejando t
t = raíz cuadrada (L – l) / (a1 – a2) =
= raíz
cuadrada ((L – l) / (μd
g - 2 μe
g (m1/m2 + 1) + μd
g m1/m2))
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