Física 1 (Exactas) Practica 1.2.9 Cinemática – Coordenadas polares

Cierto mecanismo de relojería consiste de dos agujas A y B que se mueven ambas en sentido horario. La aguja A se mueve con velocidad angular constante ωo partiendo de ϕA (t = 0) = 0, la aguja B se mueve con una aceleración angular constante Γ partiendo con velocidad angular ωB (t = 0) = 2ωo desde ϕB (t = 0) = 0.

 

a)     Calcule en qué instantes ambas agujas coinciden.

 

Aguja A

ϕA(t) = ϕAo + ωA t

 

donde

ϕA(t) = ángulo barrido en el instante t

ϕAo = ángulo inicial (t = 0) = 0 = 2 π

ωA = velocidad angular constante = - ωo  ( sentido horario à ωA < 0  )

t = tiempo transcurrido

 

Reemplazando

 ϕA(t) = 2 π - ωo t

 

 

Aguja B

ϕB(t) = ϕBo + ωBo t + 1 /2 γ t^2

 

donde

ϕB(t) = ángulo barrido en el instante t

ϕBo = ángulo inicial (t = 0) = 0 = 2 π

ωBo = velocidad angular = - 2 ωo ( sentido horario à ωBo < 0)

γ = aceleración angular = - Γ ( sentido horario, aceleración à γ < 0)

t = tiempo transcurrido

 

Reemplazando

ϕB(t) = 2 π - 2 ωo t -  1 /2 Γ t^2

 

 

agujas coinciden ϕA(t) - ϕB(t) = 0

2 π - ωo t – (2 π - 2 ωo t -  1 /2 Γ t^2) = 0

 

reordenando

ωo t + 1 /2 Γ t^2 = 0

 

Esta ecuación cuadrática tiene dos soluciones

t1 = 0 (cuando se inicia)

t2 = - 2 ωo / Γ (descartada < 0)

 

No hay cruce en la primera vuelta

 

Segunda vuelta

ωo t + 1 /2 Γ t^2 = 2 π

 

Reordenando

1 /2 Γ t^2 + ωo t  - 2 π = 0

 

Esta ecuación cuadrática tiene dos soluciones

t1 = (-  ωo – raíz cuadrada (ωo^2 + Γ π)) / Γ (descartada < 0)

t2 = (-  ωo + raíz cuadrada (ωo^2 + Γ π)) / Γ

 

 Nota:

 raíz cuadrada (ωo^2 + Γ π) > raíz cuadrada (ωo^2) =  ωo  à  t2 > 0

 

b)    Calcule en qué instantes ambas agujas coinciden en el caso en que la aguja A se mueva en sentido antihorario.

 

Aguja A

ϕA(t) = ϕAo + ωA t

 

donde

ϕA(t) = ángulo barrido en el instante t

ϕAo = ángulo inicial (t = 0) = 0

ωA = velocidad angular constante = ωo  ( sentido antihorario à ωA >  0  )

t = tiempo transcurrido

 

Reemplazando

ϕA(t) = ωo t

 

Aguja B

ϕB(t) = 2 π - 2 ωo t -  1 /2 Γ t^2

 

agujas coinciden ϕA(t) - ϕB(t) = 0

ωo t – (2 π - 2 ωo t -  1 /2 Γ t^2) = 0

 

Reordenando

1 /2 Γ t^2 + 3 ωo t - 2 π = 0

 

Esta ecuación cuadrática tiene dos soluciones

t1 = (-  3 ωo – raíz cuadrada (9 ωo^2 + Γ π)) / Γ (descartada < 0)

t2 = (-  3 ωo + raíz cuadrada (9 ωo^2 + Γ π)) / Γ

 

Nota:

 raíz cuadrada (9 ωo^2 + Γ π) > raíz cuadrada (9 ωo^2) = 3 ωo  à t2 > 0