Física 1 (Exactas) Practica 1.2.11 Cinemática – Coordenadas polares

Un faro que gira con velocidad angular constante w, proyecta su luz sobre una pantalla ubicada a una distancia d = OP, como lo muestra la Figura,

 

 

a)     Halle la velocidad lineal del punto luminoso sobre la pantalla en función de datos y de x.

  

tan φ = x / OP

 

Donde

φ = ángulo barrido = ω t

ω = velocidad angular

t = tiempo transcurrido

x = posición del punto de luz

OP = distancia a la pantalla = d

 

Reemplazando

tan φ = x / d

 

Despejando x

x = d tan (ω t)

 

Derivando

v = dx / d t = d ω / (cos (ω t))^2

 

.cos φ = d / (d^2 + x^2)^(1/2) (ver figura)

 

Reemplazando

v = d ω (d^2 + x^2) / d^2 = ω (d^2 + x^2) / d

 

 

b)    Calcule la velocidad angular del punto luminoso para un observador situado a una distancia D = AP de la pantalla en función de los datos y de x (sugerencia: haga este cálculo usando trigonometría).

 

 

 

tan θ = x / AP

 

Donde

θ = ángulo barrido

ωθ = velocidad angular

x = posición del punto de luz = d tan (ω  t)

r = tiempo transcurrido

x = posición del punto de luz

AP = distancia a la pantalla = D

 

Reemplazando

tan θ = d x / D

 

Despejando θ

θ = arc tan (d x / D)

 

derivando

ωθ = dθ / dt = d [arc tan (d x / D)] / dt = 

                     = 1 / (1 + (d x / D)^2) d / D dx/dt =

                     = 1 / (1 + (d x / D)^2) / D ω (d^2 + x^2)

                     = ω (d^2 + x^2) / (D (1 + (d x / D)^2))

 

 

c)     ¿Cómo debería ser la velocidad angular del faro para que el punto luminoso se mueva con velocidad constante?

 

v =  ω (d^2 + x^2) / d

Si v = cte; d = cte  y  x = variable (recorre la pantalla) à ω = variable

 

derivando

dv/dt = dω /dt  (d^2 + x^2) / d + ω/ d 2 x dx/dt = 0 (v = cte)

 

Simplificando

dω /dt  (d^2 + x^2)  + ω 2 x v  = 0

dω /dt  =  - ω 2 x v  / (d^2 + x^2)  ≠ 0 à ω = variable