Física 1 (Exactas) Practica 2.7 – Dinámica

 Se tiene una partícula de masa m unida al extremo de una barra rígida, sin masa, de longitud L. La barra es libre de girar (en el plano vertical) alrededor de su otro extremo, fijo en un punto P.

 

 

Si se conoce la velocidad vo de la partícula cuando pasa por el punto más bajo de su trayectoria, determine:

 

a)     El ángulo θv para el cual la velocidad se anula.

 

 

Ecuaciones de Newton

Según r:  Pt   = m at

Según y: T - Pr = m ac

 

donde

T = fuerza sobre la barra

Pr = componente radial del peso = P cos θ

Pt = componente tangencial del peso = P sen θ

θ = ángulo con la vertical

P = peso = m g

m = masa

g = aceleración de la gravedad

at = aceleración tangencial

ac = aceleracción centrípeta = v^2 / L

L = longitud de la barra

 

Reemplazando en la ecuación tangencial

m g sen θ = m at

at = dv/dt = dv/dq dq/dt = dv/dq ω = dv/dq v / L

 

Reemplazando y reordenando

L g sen q dq =  v  dv

 

Integrando

g L cos q  =  1 /2  v^2 + C

 

Despejando v^2

v^2 =  2 g L cos q - 2 C

 

Condiciones iniciales ( q = 0; v = vo)

vo^2 =  2 g L cos 0 - 2 C =  2 g L – 2 C

 

Despejando C

C = - 1 /2 vo^2 + g L

 

Reemplazando en v^2

v^2 = - 2 g L cos q - 2 (- 1 /2 vo^2 + g L)

v^2 = -  2 g L cos q + vo^2 - 2 g L = 0

 

Despejando q

cos q = (1 /2 vo^2 -  g L) / g L

 qv = arco cos (1 /2 vo^2 -  g L) / g L)

 

 

b)    El ángulo θf para el cual la fuerza que hace la barra sobre m se anula. Notar que θf podría no existir.

 

Reemplazando en la ecuación radial

T – m g cos θ = m [- 2 g L cos q + vo^2 – 2 g L)] / L

 

Despejando q ( con T = 0)

- g L cos q = - 2 g L cos q + vo^2 – 2 g L

cos q =  (vo^2 - 2 g L) / (g L)

qf = arco  cos ((vo^2 - 2 g L) / (g L))

 

Para que exista qf à vo^2 / g L - 2  < 1 à  vo^2 / g L  <  3   

 

c)     ¿Bajo qué condiciones se puede reemplazar la barra por una cuerda inextensible sin modificar la cinemática de la partícula? Justifique.

 

La cuerda inextensible solo genera fuerzas de Tensión

La barra puede generar fuerzas de Tensión y Reacción, dependiendo del ángulo

 

 à  Si  | qv | < 90 ° solo hay tensión

  

d)     Analice el problema numéricamente para varias condiciones iniciales. ¿Qué tipo de movimiento observa? Generar un gráfico que muestre la dependencia del período de movimiento con su amplitud.

 

El movimiento es oscilatorio armonico