Física 1 (Exactas) Practica 1.1.7. Cinemática – Coordenadas cartesianas

 Un jugador de fútbol patea la pelota fuera de la cancha hacia las tribunas con velocidad inicial vo y ángulo de elevación q. La tribuna forma un ángulo α con la horizontal, como muestra la Figura. Se recomienda utilizar un sistema de referencia con los ejes (x,y) en las direcciones horizontal y vertical, respectivamente.

a)     Muestre que la expresión del alcance L en función del ángulo q está dada por:

 

r(t) = (x(t); y(t))

 

Donde

r(t) = posición de la pelota en el instante t

x(t) = posición según x en el instante t = L cos α

y(t) = altura según y en el instante t = L sen α

 

Ecuaciones horarias

x(t) = xo + vo cos θ t

y(t) = yo + vo sen θ t - 1/ 2 g t^2

 

Donde

xo = posición inicial = 0

yo = altura inicial = 0

vo = velocidad inicial

.g = aceleración de la gravedad

 

Reemplazando

vo cos θ t = L  cos α

vo sen θ t - 1/ 2 g t^2 = L sen α

 

Despejando t de la ecuación según x

t = L  cos α / (vo cos θ)

 

Reemplazando en la ecuación según y

vo sen θ (L cos α / (vo cos θ) - 1/ 2 g L cos α / (vo cos θ)^2 = L sen α

 

Despejando L

L = 2 vo^2 (sen θ cos α cos θ - sen α (cos θ)^2) / (g (cos α)^2)   

L = 2 vo^2 / (g (cos α)^2)  *  sen (θ - α) cos θ

 

 

Nota: sen θ cos α cos θ - sen α (cos θ)^2 =

          cos θ (sen θ cos α - sen α cos θ) = sen (θ - α) cos θ

 

b)    Grafique L en función de q y demuestre que para cada valor de L hay dos valores posibles de q (estos se conocen como tiro rasante y tiro por elevación, respectivamente).

 

 L (θ) = Parabola concava negativa con vertice en θ = 45° à para cada valor de L hay dos valores de θ 

c) Cuál es el ángulo qmax para el cual el alcance es máximo?

 

L = 2 vo^2 / (g  (cos α)^2)  * sen (θ - α) cos θ 

Angulo máximo. d L / d θ

d L / d θ = 2 vo^2 / (g (cos α)^2)  [ cos (θ - α)  cos θ -  sen (θ - α)  sen θ )] = 0

[ cos (θ - α)  cos θ -  sen (θ - α)  sen θ )] = 0 

[ cos α ((cos θ)^2  -  (sen θ)^2)] = 0  à qmax = 45°