En el sistema de la figura, el carrito se mueve inicialmente con velocidad V constante:
a.
Si el rozamiento entre las masas y el carrito es
despreciable, realizar el D.C.L. para cada cuerpo y determinar la aceleración
de cada uno.
DCL
Ecuaciones de Newton (SRI)
Cuerpo A, Según x: T = MA aA
Cuerpo A, según y: NA – PA = 0
Cuerpo B. Según x: NB = 0
Cuerpo B. Según y: T - PB
= MB aB
Carrito C. según x: - NB = MC aC
Carrito C. según y: NC – NA –
PC = 0
Donde
T = tensión
MA = masa A
aA = aceleración de la masa A
(ǐ)
NA = reacción del carrito al
cuerpo A
PA = peso de la masa A = MA g
NB = reacción del carrito al
cuerpo B
PB = peso de la masa B = MB g
aB = aceleración de la masa B
(- ǰ)
MC = masa del carrito C
aC = aceleración del carrito
C (ǐ)
NC = reacción del plano al
carrito C
Soga ideal à aA = - aB = a
NB = 0 à aC = 0
Reemplazando
T = MA a
- T + MB g = mB a
Sumando las ecuaciones de A y
B
MB g = (MA + MB) a
Despejando aA
a = MB / (MA + MB) g
Cuerpo A: aA = MB / (MA + MB) g (ǐ)
Cuerpo B: aB = - MB / (MA + MB) g (ǰ)
Cuerpo C: aC = 0 (velocidad constante)
b.
Determinar la fuerza de rozamiento necesaria para que
A y B no deslicen. Considerar igual µ para ambas superficies.
DCL
Ecuaciones de Newton (SRI)
Cuerpo A, Según x: T – Froz A = 0
Cuerpo A, según y: NA – PA = 0
Cuerpo B. Según x: NB = 0
Cuerpo B. Según y: T + Froz B -
PB = 0
Carrito C. según x: - NB +
Froz A = 0
Carrito C. según y: NC – NA –
PC – Froz B = 0
Donde
Froz A = fuerza de rozamiento estático
entre A y C
Froz B = fuerza de rozamiento estático
entre B y C
Despejando T de las ecuaciones
A y B
T = Froz A
T = MB g
Igualando
Froz A = MB g
NB
= 0 à Froz B = 0
c.
Si ahora el carrito se acelera. ¿Cuál es el valor de
la aceleración máxima del carrito, para que el cuerpo A no deslice hacia atrás?
Realizar desde un SRNI.
Sistema de referencia fijo en el carrito
DCL
Ecuaciones de Newton (SRNI)
Cuerpo A, Según x: T + Froz A – FiA = 0
Cuerpo A, según y: NA – PA = 0
Cuerpo B. Según x: NB – FiB = 0
Cuerpo B. Según y: T - Froz B -
PB = 0
Carrito C. según x: - NB –
Froz A = MC aC
Carrito C. según y: NC – NA –
PC + Froz B = 0
Donde
Froz A = fuerza de rozamiento estático
máxima entre A y C = µ NA
FiA = fuerza inercial A = MA
aC
aC = aceleración del carrito
C (ǐ)
Froz B = fuerza de rozamiento estático
máxima entre B y C = µ NB
FiB = fuerza inercial B = MB
aC
Reemplazando
Froz A = µ NA = µ PA = µ MA g
Froz
B = µ NB = µ FiB = µ MB aC
Despejando T de las ecuaciones
A y B
T
= MA aC - µ MA g
T
= MB g + µ MB aC
Igualando ambas ecuaciones
MB g + µ MB aC = MA aC - µ MA
g
Despejando aC
aC = g (MB + µ MA) / (µ MB - MA)
d.
Plantear la 2da ecuación de Newton en el eje
horizontal para el cuerpo MA desde un sistema fijo a Tierra
(inercial), para un valor de aceleración del carrito superior al calculado en (c.).
(Ayuda: en este caso el cuerpo MA desliza y
está acelerado con respecto al carro)
aAT = aAC + aCT
aAT = aceleración de A con
respecto a tierra T
aAC = aceleración de A con
respecto al carrito C
aCT = aceleración del carrito
C respecto a tierra T = aC
Ecuaciones de Newton (SRI)
Según x: T + Froz A = MA aAT
Según y: NA – PA = 0
Donde
Froz A = fuerza de rozamiento dinámica
entre A y C = µ NA
Reemplazando
Froz A = µ NA = µ PA = µ MA g
Despejando T de las ecuaciones
A y B
Según x: T + µ MA g = MA aAT
Según y: NA – MA g = 0
e.
¿Cuál es el valor mínimo de aceleración del carrito,
para que el cuerpo B no caiga? Realizar los D.C.L.
DCL
Ecuaciones de Newton (SRI)
Cuerpo A, Según x: T – Froz A = MA a
Cuerpo A, Según y: NA – PA = 0
Cuerpo B. Según x: NB = MB a
Cuerpo B. Según y: T + Froz B -
PB = 0
Donde
Froz A = fuerza de rozamiento estático
entre A y C = µ NA = µ MA g
Froz B = fuerza de rozamiento estático
entre B y C = µ NB = µ MB a
Reemplazando
T – µ MA g = MA a
T + µ MB a - MB g = 0
Despejando T de las ecuaciones
A y B
T
= µ MA g + MA a
T
= MB g - µ MB a
Igualando
µ MA g + MA a = MB g - µ MB a
despejando a
a = g (MB - µ MA) / (MA + µ MB)
f.
Si todos los rozamientos son despreciables, ¿Existe
alguna aceleración del carrito, que obligue a los cuerpos A y B a moverse
solidarios con el carrito sin desplazamiento relativo?
DCL
Ecuaciones de Newton (SRI)
Cuerpo A, Según x: T = MA a
Cuerpo A, Según y: NA – PA = 0
Cuerpo B. Según x: NB = MB a
Cuerpo B. Según y: T - PB
= 0
Despejando T de las ecuaciones
A y B
T = MA a
T = MB g
Igualando
MA a = MB g
despejando a
a = g MB / MA
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