Una curva de autopista plana (sin peralte*) y de 300 m de radio, tiene un coeficiente de fricción estático entre los neumáticos y el asfalto seco de 0,75, si el asfalto se encuentra mojado baja a 0,50, y, en el hielo, el coeficiente es de solo 0,25.
a.
Determinar la
máxima velocidad con que un vehículo puede pasar la curva con seguridad (sin
deslizar) en:
(i)
días secos,
(ii)
días lluviosos y
(iii)
días helados.
Ecuaciones
de Newton
Según r: Froz = m ac
Según
y: N – P = 0
donde
Froz =
fuerza de rozamiento estático máximo = μe N
μe = coeficiente de rozamiento estático entre los
neumáticos y el asfalto
N = reacción
de la ruta
P = peso =
m g
m = masa
ac =
aceleración centrípeta = v^2 / R
v =
velocidad
R = radio
de la curva = 300 m
Reemplazando
N en Froz
Froz = μe N = μe m g
Reemplazando
en la ecuación según r
μe m g = m v^2 / R
despejando v
v = (μe g R)^1/2
Reemplazando
con cada μe
|
μe |
vmax (m/s) |
|
|
días secos |
0,75 |
47,43 |
|
días
lluviosos |
0,50 |
38,73 |
|
días
helados |
0,25 |
27,39 |
b.
Recalcular las velocidades halladas en a), si la
autopista tiene un peralte* de 3°. Realizar un esquema del vehículo sobre la
curva con peralte y hacer el DCL.
Ecuaciones de Newton
Según r: Nr + Froz r = m ac
Según y: Ny – P – Froz y = 0
donde
Froz = fuerza de rozamiento
estático máximo = μe N
μe = coeficiente de rozamiento estático entre los
neumáticos y el asfalto
Froz r = componente radial de
la fuerza de rozamiento = Froz cos 3°
Froz y = componente vertical
de la fuerza de rozamiento = Froz sen 3°
N = reacción del asfalto
Nx = componente radial de la
reacción del asfalto = N sen 3°
Ny = componente vertical de la
reacción del asfalto = N cos 3°
m = masa
ac = aceleración centrípeta =
v^2 / R
v = velocidad
R = radio de la curva = 300 m
P
= peso = m g
Reemplazando en las ecuaciones
N sen 3° + μe
N cos 3° = m v^2 / R
N cos 3° – m g
- μe N sen 3° = 0
Despejando N en ambas ecuaciones
N
(sen 3° + μe cos 3°)
= m v^2 / R
N
(cos 3° - μe sen 3°)
= m g
Dividiendo ambas ecuaciones
(sen 3° + μe cos 3°) / (cos 3° - μe sen 3°) = v^2 / (R g)
despejando v
v
= [R g (sen 3° + μe cos 3°) / (cos 3° - μe sen 3°)]^(1/2)
|
. μe |
vmax (m/s) |
|
|
días secos |
0,75 |
50,05 |
|
días lluviosos |
0,50 |
41,25 |
|
días helados |
0,25 |
30,32 |
c.
Para el ángulo de peralte del punto b), calcular la
rapidez mínima a la que se debe desplazar el vehículo, para que no deslice
hacia abajo.
Si se
desliza hacia abajo à fuerza de rozamiento estática máxima hacia arriba
del plano inclinado.
Ecuaciones de Newton
Según r: Nr - Froz r = m ac
Según y: Ny – P + Froz y = 0
donde
Froz = fuerza de rozamiento
estático máximo = μe N
μe = coeficiente de rozamiento estático entre los
neumáticos y el asfalto
Froz r = componente radial de
la fuerza de rozamiento = Froz cos 3°
Froz y = componente vertical
de la fuerza de rozamiento = Froz sen 3°
N = reacción del asfalto
Nx = componente radial de la
reacción del asfalto = N sen 3°
Ny = componente vertical de la
reacción del asfalto = N cos 3°
m = masa
ac = aceleración centrípeta =
v^2 / R
v = velocidad
R = radio de la curva = 300 m
P
= peso = m g
Reemplazando en las ecuaciones
N sen 3° - μe
N cos 3° = m v^2 / R
N cos 3° + m g
- μe N sen 3° = 0
Despejando N en ambas ecuaciones
N
(sen 3° - μe cos
3°) = m v^2 / R
N
(cos 3° + μe sen 3°)
= m g
Dividiendo ambas ecuaciones
(sen 3° - μe cos 3°) / (cos 3° + μe sen 3°) = v^2 / (R g)
Dividiendo por cos 3°
(tan 3° - μe) / (1 + μe tan 3°) = v^2 / (R g)
despejando v
v^2 = [R g (tan 3° - μe) / (1 + μe tan 3°)]
Reemplazando cada μe
|
. μe |
Vmin m/s |
|
|
días secos |
0,75 |
0 |
|
días lluviosos |
0,50 |
0 |
|
días helados |
0,25 |
0 |
*Peralte: inclinación que tienen algunas curvas que permite a los
vehículos realizar giros a mayor velocidad que si la curva fuese plana, sin
correr el riesgo de derrapar.
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