Dos bloques, que pesan 8 kg y 80 kg respectivamente, están unidos por una barra y deslizan hacia abajo sobre un plano inclinado 300 respecto de la horizontal. El coeficiente de rozamiento entre el bloque de menos masa y el plano es 0,25 y el correspondiente al otro bloque es 0,5.
a. Calcular la aceleración y la tensión en la barra. ¿La
barra está comprimida o traccionada? ¿Depende el resultado de la ubicación
relativa de los bloques?
Ecuación de Newton
Bloque 1:
Según x: P1 sen 30° - Froz1 – T = m1 a
Según y: N1 – P1 cos 30° = 0
Bloque 2:
Según x: T + P2 sen 30° -
Froz2 = m2 a
Según y: N2 – P2 cos 30° = 0
Donde
P1 = peso del bloque 1 = m1 g
m1 = masa del bloque 1
Froz1 = fuerza de rozamiento dinámico
del bloque 1 = μ1 N1
μ1 = coeficiente de
rozamiento del bloque 1
N1 = reacción del plano = m1 g
cos 30° (ecuación según y)
T = fuerza de la barra
a = aceleración
P2 = peso del bloque 2 = m2 g
m2 = masa del bloque 2
Froz2 = fuerza de rozamiento dinámico
del bloque 2 = μ2 N2
μ2 = coeficiente de
rozamiento del bloque 2
N2 = reacción del plano = m2 g
cos 30° (ecuación según y)
Reemplazando y sumando ambas
ecuaciones
m1 g sen 30° - μ1 m1 g cos 30° + m2 g sen 30° - μ2 m2 g cos 30° = (m1 + m2) a
Despejando a
a = ((m1 + m2) g
sen 30° - (μ1 m1 + μ2 m2) g cos 30°) / (m1 + m2)
Reemplazando en la ecuación
del bloque 1 según x
T = m1 g sen 30° -
μ1 m1 g cos 30° –
m1 a
a.1. m1 = 80 kg y m2 = 8 kg; μ1 = 0,50 y μ2 = 0,25
Reemplazando en la ecuación de
a
a
= ((m1 + m2) g sen 30° - (μ1 m1 + μ2 m2) g cos 30°) / (m1 + m2)
a
= ((80 kg + 8 kg) 10 m/s2 0,5 - (0,50 * 80 kg + 0,25 * 8 kg) 10 m/s2
0,867) / (80 kg + 8 kg)
a = 0,87 m/s2
Reemplazando en la ecuación de
T
T
= m1 g sen 30° - μ1 m1 g cos 30° –
m1 a
T = 80 kg (10 m/s2 0,5
– 0,50 *10 m/s2 0,867 - 0,867
m/s2)
T = - 15,75 N à barra esta comprimida
a.2. m1 = 8 kg y m2 = 80 kg; μ1 = 0,25 y μ2 = 0,5
Reemplazando en la ecuación de
a
a = ((m1 + m2) g sen 30° - (μ1 m1 + μ2 m2) g cos 30°) / (m1 + m2)
a
= ((8 kg + 80 kg) 10 m/s2 0,5 - (0,25 * 8 kg + 0,5 * 80 kg) 10 m/s2
0,867) / (8 kg + 80 kg)
a = 0,87 m/s2
Reemplazando en la ecuación de
T
T
= m1 g sen 30° - μ1 m1 g cos 30° –
m1 a
T = 8 kg (10 m/s2 0,5
– 0,25 *10 m/s2 0,867 - 0,87
m/s2 )
T = 15,75 N à barra esta traccionada
b. ¿Cuál sería la
aceleración y la tensión en la barra si los bloques intercambian los
coeficientes de rozamiento?
b.1. m1 = 80 kg y m2 = 8 kg; μ1 = 0,25 y μ2 = 0,50
Reemplazando en la ecuación de
a
a
= ((m1 + m2) g sen 30° - ( μ1 m1 + μ2 m2) g cos 30°) / (m1 + m2)
a
= ((80 kg + 8 kg) 10 m/s2 0,50 - (0,25 * 80 kg + 0,50 * 8 kg) 10 m/s2
0,867) / (80 kg + 8 kg)
a = 2,64 m/s2
Reemplazando en la ecuación de
T
T
= m1 g sen 30° - μ1 m1 g cos 30° –
m1 a
T = 80 kg (10 m/s2 0,50
– 0,25 *10 m/s2 0,867 – 2,64
m/s2 )
T = 15,75 N à barra
esta traccionada
b.2. m1 = 8 kg
y m2 = 80 kg g; μ1 = 0,50 y μ2 =
0,25
Reemplazando en la ecuación de
a
a
= ((m1 + m2) g sen 30° - ( μ1 m1 + μ2 m2) g cos 30°) /
(m1 + m2)
a
= ((8 kg + 80 kg) 10 m/s2 0,50 - (0,50 * 8 kg + 0,25 * 80 kg) 10 m/s2
0,867) / (8 kg + 80 kg)
a = 2,64 m/s2
Reemplazando en la ecuación de
T
T
= m1 g sen 30° - μ1 m1 g cos 30° –
m1 a
T
= 8 kg (10 m/s2 0,50 – 0,25 *10 m/s2 0,867 – 2,64 m/s2
)
T = - 15,75 N à barra esta
comprimida
c. Recalcular suponiendo ambos coeficientes iguales a 0,25.
c.1. m1 = 80 kg y m2 = 8 kg; μ1 = μ2 = 0,25
Reemplazando en la ecuación de
a
a
= ((m1 + m2) g sen 30° - ( μ1 m1 + μ2 m2) g cos 30°) /
(m1 + m2)
a = 10 m/s2 0,50 -
0,25 * 10 m/s2 0,867
a = 2,83 m/s2
Reemplazando en la ecuación de
T
T
= m1 g sen 30° - μ1 m1 g cos 30° –
m1 a
T = 80 kg (10 m/s2
0,50 – 0,25 *10 m/s2 0,867 –
2,83 m/s2 )
T = 0 N à NI tracción NI compresión
c.2. m1 = 8 kg y m2 = 80 kg g; μ1 = μ2 = 0,25
Reemplazando en la ecuación de
a
a
= ((m1 + m2) g sen 30° - (μ1 m1 + μ2 m2) g cos 30°) / (m1 + m2)
a = 10 m/s2 0,50 -
0,25 * 10 m/s2 0,867
a = 2,83 m/s2
Reemplazando en la ecuación de
T
T
= m1 g sen 30° - μ1 m1 g cos 30° –
m1 a
T = 8 kg (10 m/s2 0,50
– 0,25 *10 m/s2 * 0,867 - 2,83 m/s2 )
T = 0 N à NI tracción NI compresión
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