Física 1 (Ing.) Práctica 1.6 - Cinemática y Dinámica

 Un ave vuela en el plano x- y según las coordenadas:

x(t) = 2,0 m – 3,6 m/s t                  

y(t) = 1,8 m/s² t^2

 

a.     Escribir el vector posición en función del tiempo

 

r(t) = (2,0 m – 3,6 m/s t) ǐ + (1,8 m/s² t^2) ǰ

 

 

b.     Graficar la trayectoria del ave

 

Ecuación de la trayectoria

 

Despejando t de la ecuación x

t = (2 m – x) / 3,6 m/s

 

Con t > 0 à 2 m >  x 

 

Reemplazando en la ecuación según y

y(x) = 1,8 m /s² ((2 m – x) / 3,6 m/s)^2 = (2 m – x)^2 / 7,2 m

 

 

  

c.      Obtener los vectores velocidad y aceleración en función del tiempo

 

Velocidad (v(t)) = dr / dt

 

derivando r(t) 

v(t) = – 3,6 m/s ǐ + 3,6 m/s² t ǰ

 

Aceleración (a(t)) = dv / dt

 

derivando

a(t) = 3,6 m/s² ǰ

 

 

     d.     Calcular módulo, dirección y sentido de la velocidad y de la aceleración en el instante t = 3 s

 

Velocidad en t = 3 s

Reemplazando para t = 3 s

v(3 s) = – 3,6 m/s ǐ + 3,6 m/s² 3 seg ǰ = – 3,6 m/s ǐ + 10,8 m/s ǰ

 

Modulo

| v(3 s) | = ((– 3,6 m/s)^2 + (10,8 m/s)^2)^(1/2) = 11,38 m/s

 

Dirección y sentido

Tan θ = vy / vx = 10,8 m/s / (-3,6 m/s)) = -3

 

Con sen θ > 0 y cos θ < 0

θ = arc tan (-3) = 180° - 71,57° = 108,43°

 

 

Aceleración en t = 3 s

 

Reemplazando para t = 3 s

a(3 s) = 3,6 m/s² ǰ

 

Modulo

| a(3 s) | = 3,6 m/s²

 

Dirección y sentido

θ = 90° (eje y)

 

 

 

e.      velocidad y aceleración

 

e.1. Dibujar los vectores velocidad y aceleración para el instante t = 3s.

 

 

e.2. En ese instante, el ave, ¿está acelerando, está frenando, o su rapidez no está cambiando?

 

Según x:  a = 0 à vx = constante

Según y: vy > 0 y ay > 0 à acelerando

 

El ave está acelerando

 

 

e.3. El ave, ¿está girando? De ser así, ¿en qué dirección?

 

El ave está girando en sentido horario

 

 

f.      Hallar los vectores intrínsecos de la aceleración en t = 3 s

 

 a = at ǔt + an ǔn (ecuación vectorial)

 

Donde

a = aceleración = 3,6 m/s² ǰ

at = aceleración tangencial (en la dirección de v)

ǔt = versor en la dirección de v = v / | v|

an = aceleración normal (en la dirección perpendicular a v)

ǔn = versor perpendicular ǔv

 

ǔt = v / | v| = (– 3,6 m/s ǐ + 10,8 m/s ǰ) / 11,38 m/s = – 0,3 ǐ + 0,9 ǰ

 

ǔn = (a ǐ + b ǰ)

 

Con   ǔv . ǔt = 0 y | ǔn | = 1

ǔv . ǔt = (– 0,3 ǐ + 0,9  ǰ ) . (a ǐ + b ǰ) = – 0,3 a + 0,9 b

| ǔn |^2 = a^2 + b^2 = 1

 

Una solución del sistema à a = 0,9 y b = 0,3

 

reemplazando en ǔn

ǔn = 0,9 ǐ + 0,3 ǰ  

  

Reemplazando en las ecuaciones de a

at = a . ǔt = 3,6 m/s² ǰ . (– 0,3 ǐ + 0,9 ǰ) = 3,4 m/s²

an = a . ǔn = 3,6 m/s² ǰ . (0,9 ǐ + 0,3 ǰ) = 1,1 m/s²

 

 

g.     Hallar la ecuación de la recta tangente a la trayectoria en t = 3 s

 

y – yo = m (x – xo)

 

Donde

yo = posición según en t = 3 s

xo = posición según x en t = 3 s

m = pendiente de la recta tangente = dy / dx

 

Reemplazando

xo(3 s) = 2,0 m – 3,6 m/s 3 s =   - 8,8 m             

 yo(3 s) = 1,8 m/s² (3 s)^2 = 16, 2 n

 

Ecuación de la trayectoria

y(x) = 1,8 m /s² ((2 m – x) / 3,6 m/s)^2 = (2 m – x)^2 / 7,2 m

 

Derivando

dy / dx = 2 (2 m – x) / 7,2 m (-1)

 

Para x = - 8,8 m (equivale a t = 3 s)

dy / dx = - 2 (2 m – (- 8 ,8 m) / 7,2 m = - 3

 

Reemplazando y reordenando

y = - 3 (x – (- 8,8 m)) + 16,2 m =   - 3 x – 10,2 m

 

 

 

h.     Hallar el radio de curvatura en t = 3 s

 

an = v^2 / ρ

 

Con ρ = radio de curvatura en el punto

 

Despejando ρ

ρ = v^2 / an = (11,38 m/s)^2 / 1,1 m/s² = 113,8 m